最优捕鱼问题

最优捕鱼策略杨鋆吴可刘进【摘要】本文研究最优捕鱼策略，属于优化问题，基于合理的模型假设，通过研究鱼种群数量的影响因素及其变化规律，建立了关于鱼群数量的微分方程模型；针对最优捕鱼，建立了非线性规划模型。首先，考虑到自然死亡、捕捞、和繁殖对鱼群数量的影响，得到鱼群的数量变化规律，写出了各龄鱼数量变化的函数关系式；然后分别对两个问题建立相应的模型及其解答。针对问题一，在可持续捕捞的前提下，以每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变为约束条件，以最大捕捞总重量为目标函数，建立非线性规划模型，通过matlab软件进行求解，得到最大捕捞量为，与之对应的4龄鱼的捕捞强度系数为。11max3.88710W=×g17.363bestP=针对问题二，引进鱼群生产能力破坏系数iμ：()6=(0)/100%iiiiNNNμ−×。当iμ小于某一定值时，可认为对鱼群没有造成太大破坏。通过以此系数为约束C条件，仍以获得最大捕捞量为目标函数，建立优化模型。在每年的捕捞强度系数不变情况下，通过lingo求解，得到不同C值条件下的最优解：C0.050.100.150.200.25五年总捕捞量(g)totalW910×1600.7101600.9511601.0631601.0681601.068捕捞强度系数P17.4817.6717.8717.9217.92在模型改进部分，对模型一，由于商家一般是以最大经济效益为目标，故可将此作为目标函数进行改进。对模型二，将不能对鱼群造成太大破坏理解为五年承包期之后恢复到稳定状态所需的年份m，以此为约束，建立模型。因模型中的条件并没有受到鱼群种类的影响，故可将此模型进行推广，运用到其他资源开发利用领域。关键字：微分方程模型最优捕鱼策略MATLAB非线性规划11问题重述为保护人类赖以生存的自然环境，适度开发可再生资源（如渔业、林业资源），应在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：1、2、3、4龄鱼。各年龄组鱼的相关数据如下表：类别每条鱼的平均重量（g）自然死亡率（1/年）平均每条鱼的产卵量（个/条）1龄鱼5.070.802龄鱼11.550.803龄鱼17.860.850.554510×4龄鱼22.990.851.10910×该鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为11111.2210/(1.2210n)××+。又根据渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业，并且采用固定努力量捕捞方式：如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。称该比例系数为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。本文要解决这样两个问题：1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。2模型假设1.渔场独立，不与其他水域发生关系；鱼群独立，不与其他生物竞争或该影响已包含在鱼的自然死亡率中；环境不发生突变。2.同年龄组的个体是同质的，忽略个体差异，只考虑平均水平。3.3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄性不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异。4.鱼群总量的变化虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。25.由于鲳鱼是集中产卵且产卵期很短，故假设鱼在每年的9月1日00：00一次性产卵，存活下来的卵在12月31日24：00全部孵化完毕。6.1、2、3龄鱼一年之后均增一岁，而4龄鱼退出鱼群系统，这是由于4龄鱼自然死亡率和捕捞强度系数很大，年末存活下来的数量极少且重量变化不大。3符号说明符号说明()ikNt第年t时刻i龄鱼的数量k0t=表示年初，表示年底，1t=1,2,3,4i=，（省略时表示任意某年）kD自然死亡率，值为0.8（1/年）P4龄鱼的捕捞强度系数，则3龄鱼的捕捞强度系数为0.42PA4龄鱼的平均产卵量，则3龄鱼的平均产卵量为0.5AA值为(个)51.10910×W年捕捞量，即每年总捕捞鱼的重量kW第年捕捞量ktotalW五年承包期总捕捞量kn第年3、4龄鱼产卵的总量，（省略时表示任意某年）kkiμ鱼群生产能力破坏系数4问题分析问题一提出了两个条件：一是能够可持续捕鱼，二是每年捕捞的鱼的总重量能够达到最大。条件一要求各龄鱼的数量经过死亡、繁殖、捕捞等过程后，能够维持在一个稳定的水平，由此可知每年年初各龄鱼的数量应保持基本不变。在此基础上，把捕捞强度系数作为一个关键的控制变量，通过建立相关量与的关PP系，再根据条件二使捕获量达到最大来求得最佳的值，从而建立最优可持续捕P鱼模型。3问题二同样提出了两个条件：一是鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，二是五年总共的捕捞量要最大。鱼群生产能力的破坏程度本文理解为第6年初各龄鱼的数量与可持续捕捞时各龄鱼数量的相对偏差，相对偏差越小，破坏程度越低，并假设五年期捕捞强度系数为定值。P两个问题均涉及到鱼群数量的变化，而鱼群数量受到多方面因素的影响，考虑自然死亡、捕捞、繁殖这三个因素，先分析鱼群的数量变化规律，为之后的模型建立做准备。4.1自然死亡、捕捞、繁殖对龄鱼鱼群数量的影响i自然死亡率定义为：单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比。在ttDt→+Δ的时段内，根据自然死亡率的定义，则有：tΔ0()()()1lim()()iiitiiNtNttdNtDtNtdtNt→−+Δ==−Δ⋅⋅变形得：()()iidNtDNtdt=−积分得：()(0)DtiiNtNe−=⋅（1）（1）式表示无捕捞时，i龄鱼鱼群数量随时间变化的规律。()iNt考虑有捕捞的情况，则有：()()(iidNtDPNtdt=−+)积分得：()()(0)DPtiiNtNe−+=⋅（2）（2）式表示自然死亡和有捕捞时，龄鱼鱼群数量随时间变化的规律。i()iNt再考虑繁殖，由假设4可知，3、4龄鱼在第k年九月初产卵，此时3、4龄鱼的数量分别为32()3kN、42()3kN，则第年总产卵量为：k3412()()23kknANAN=⋅+⋅23k卵在第k年12月末全部孵化完毕成为1龄鱼，由卵的成活率的定义（1龄鱼条数与产卵总量n之比）可知，第1k+年年初1龄鱼的数量为：4111(1)111.2210(0)1.2210kkknNn+××=×+4.2一个捕捞周期内各龄鱼的数量变化规律一个捕捞周期包括：第k年1月初—8月末、9月初—12月末、12月末—第1k+年1月初。4.2.1第年1月初—8月末k此为捕捞季节，且只捕捞3、4龄鱼。鱼群数量受自然死亡和捕捞的影响，有：1122(0.42)33()44()(0)()(0)20,3()(0)()(0)DtkkDtkkDPtkkDPtkkNtNeNtNetNtNeNtNe−−−+−+⎧=⋅⎪=⋅⎪⎡⎤∈⎨⎢⎥=⋅⎣⎦⎪⎪=⋅⎩（3）4.2.2第年9月初—12月末k此为产卵和孵化季节，渔业部门采取休渔措施禁止捕捞，鱼群数量只受自然死亡的影响，有：2()322()(),1,1,2,3,433DtikikNtNeti−−⎛⎤=⋅∈=⎜⎥⎝⎦（4）4.2.3第年12月末—第k1k+年1月初根据假设4，在第年12月31日24：00这个时间点，由于成活下来的卵全部孵k化完毕，且认为4龄鱼全部死亡，则可推出第1k+年的1龄鱼来自第年孵化完k成的卵，而第年的2，3，4龄鱼则分别来自第k年末的1，2，3龄鱼。则有：1k+111(1)112(1)13(1)24(1)31.2210(0)1.2210(0)(1)(0)(1)(0)(1)kkkkkkkkknNnNNNNNN++++⎧××=⎪×+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩（5）式中：34122()()233kkknANN⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦55模型建立与求解5.1问题一：可持续捕鱼最优模型5.1.1模型一建立：根据4中对问题一的分析，问题一建模思路为：基于假设鱼群的死亡和捕捞为连续过程，应用微分方程分析各龄鱼在一年内的数量变化规律，建立到达平衡年时各龄鱼数量与捕捞强度系数的指数型方程，然后得到各龄鱼数量按()iNtP年份变化的离散型方程，再利用可持续发展条件，建立迭代方程，最后以捕捞量W最大化为目标，建立非线性规划模型。利用MATLAB软件求W的极值则可得到年最大捕捞量和对应的捕捞强度系数。maxWbestP由可持续发展条件，知每年年初各龄鱼的数量相等，即：(1)(0)(0)1,2,3,4ikikNNi+==（6）将（6）代入已求出的各龄鱼数量变化方程式（3）、（4）、（5）中，可得：11341(1)11340.80.82(1)111(1)0.80.83(1)222(1)(0.4(1)33122()()1.2210233(0)122()()1.2210233(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(1)(0)kkkkkkkkkkkkkkkkANNNANNNNNeNeNNNeNeNNNe+−−++−−++−+⎡⎤⋅+××⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⋅++×⎢⎥⎣⎦========80.28)(0.80.28)3(1)22(0.80.42)(0.8)33343(1)4(1)(0)1221()()(0)(0)2332PPkPPkkkkNeNNNeNe+−++−+−+++⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪+=+⎪⎩化简，因最后等式两边均转化为1k+年的鱼量，故可省略年份：22(0.80.42)(0.8)113334122(0.80.42)(0.8)1133341.631(2.40.28)411(0)(0)1.22102(0)1(0)(0)1.22102(0)(0)(0)(0)PPPPPANeNeNANeNeNNeNNe−+−+−+−+−−+⎧⎡⎤⋅+×⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎪⎡⎤⋅++⎪⎢⎥⎪⎨⎣⎦⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩××根据年捕捞量的定义，可求出其表达式为：[]2/334017.860.42()22.99()kkWPNtPN=××+××∫tdt（7）6化简式（7）得：0.282/3347.5012(10.5866)22.99(10.5866)(0)(0)0.80.420.8PPPePeWNPP−−−−=+++N综合，以最大年捕捞量为目标，以可持续捕捞为约束条件，可得出可持续捕鱼最优模型：max0.282/3347.5012(10.5866)22.99(10.5866)(0)(0)0.80.420.8PPPePeWNPP−−−−=+++N22(0.80.42)(0.8)113334122(0.80.42)(0.8)1133341.631(2.40.28)411(0)(0)1.22102(0)1(0)(0)1.22102..(0)(0)(0)(0)PPPPPANeNeNANeNestNNeNNe−+−+−+−+−−+⎧⎡⎤⋅+×⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎪⎡⎤⋅++⎪⎢⎥⎪⎨⎣⎦⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩××5.1.2模型一求解：上述模型属于非线性规划模型。采用MATLAB数学软件对模型一进行求解，可得出全局最优解，结果如下表1所示：表1可持续捕鱼最优策略maxWbestP1(0)N2(0)N3(0)N4(0)N113.88710×17.363111.19610×105.37410×102.41510×78.39610×表1中：表示每年最大捕捞量；maxWbestP表示年捕捞量最大时对应的捕捞强度系数；iN表示可持续捕捞时各龄鱼在年初时的数量。进一步通过MATLAB软件，画出在可持续捕捞的前提下，总捕捞量W与捕捞强度系数的关系图像（如下图1所示），可以看出，W是关于的先单调递增PP后单调递减的单峰函数。70510152025