不等式组应用题专题复习汇总

例析列不等式（组）解应用题一元一次不等式（组）在实际生活中有着广泛的应用，不等式应用题一般叙述较多，对阅读理解、分析问题的能力要求较高。解此类实际问题时，需从题目中捕捉不等关系的词语（如：不足、至少、不少（多）于、不超过、不低于等等关键的词语）用不等式（组）将它们表示出来，通过解不等式（组）找出符合题意的解。有的题目中没有出现表示不等关系的关键字，因此不等关系比较含蓄，需要我们从题意中分析得到。同学们要通过读题审题、寻找不等量或等量关系、解的特殊性等，准确捕捉题目提供的信息，列出不等式（组）来寻找解题的突破口。列一元一次不等式组解应用题的一般步骤如下：1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系。2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量。3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系。4、列：列出不等式组。5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，得出结果。6、答：根据所得结果作出回答。例1为节约用电，某学校于本学期初制订了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用电2kW·h，那么本学期的用电量将会超过2530kW·h；如果实际每天比计划节约用电2kW·h，那么本学期的用电量将不会超过2200kW·h。若本学期学生在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？分析：在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过等。我们只有先找到这些关键信息，才能列出正确的不等式组。本题数量关系不算复杂，根据题意可直接列出两个不等式构成不等式组。解：设学校每天用电量为xkW·h。依题意得2200)2x(1102530)2x(110解得22x21。答：学校每天用电量应在大于21kW·h且不超过22kW·h的范围内。例2小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72kg，坐在跷跷板的一端；体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端。这时，跷跷板倾向爸爸的一端。后来，小宝借来一副质量为6kg的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果，跷跷板变为倾向妈妈的一端，请计算小宝的体重约是多少千克。（精确到1kg）分析：设小宝的体重为xkg，妈妈的体重为2xkg，依题意有72x2x，又726x2x，可得到一个不等式组。解：设小宝的体重为xkg，那么妈妈的体重为2xkg。依题意得726x2x72x2x解不等式72x2x，得24x。解不等式726x2x，得22x。所以不等式组的解集为24x22，整数解为23。答：小宝的体重约为23kg。例3（哈尔滨市）双蓉服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若销售一件A型服装可获利18元，销售一件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A型服装的数量要比购进B型服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？分析：由题意，本题不等关系非常明显，由两个表示不等关系的关键字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解决本题我们可以直接根据这两个关键字列出不等式组。解：设B型服装购进x件，则A型服装购进)4x2(件，根据题意，得284x2699x30)4x2(18解得12x219因为x为整数，所以x=10、11、12所以244x2、26、28所以有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件或B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件。例4（连云港市）光明农场有某种植物10000千克，打算全部用于生产高科技药品和保健食品。若生产高科技药品，1千克该植物可提炼出0.01千克的高科技药品，将产生污染物0.1千克，每1千克高科技药品可获利润5000元；每生产1千克保健食品可获利润100元。1千克该植物可生产0.2千克保健食品，将产生污染物0.04千克。要使总利润不低于410000元，所产生的污染物总量不超过880千克，求用于生产高科技药品的该植物重量的范围。分析：由题意很容易发现体现本题不等关系的两个关键字，即“不低于”和“不超过”，因此我们就根据这两个关键字列出不等式组把问题解决。解：设用于生产高科技药品的该植物重量为x千克，则用于生产保健食品的该植物重量为（10000－x）千克，根据题意，得880)x10000(04.0x1.0410000)x10000(2.0100x01.05000解得8000x7000所以用于生产高科技药品的该植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。例5（广东省茂名市）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨。（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来。（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案使运输费最少？最少运输费是多少？分析：本题没有明显的不等关系，但是从题意可知本题是一个最优方案设计问题，因此可以建立不等式组模型来解决问题。由题意，本题的不等关系为：10辆甲、乙两种货车的运货总量至少要达到30吨荔枝，13吨香蕉。解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（10－x）辆，根据题意，可得13)x10(2x30)x10(2x4解得7x5因为x为整数，所以x=5、6、7，所以x105、4、3。所以车辆安排有三种方案：方案一：甲种车、乙种车各5辆；方案二：甲种车6辆、乙种车4辆；方案三：甲种车7辆、乙种车3辆。（2）方案一，要运输费：165005130052000元方案二，要运输费：172004130062000元方案三，要运输费179003130072000元这说明，方案一所需运输费最少，为16500元。例6（常州市）七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A型或B型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36千克，乙种制作材料29千克，制作A、B两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料需乙种材料1件A型陶艺品0.9千克0.3千克1件B型陶艺品0.4千克1千克（1）设制作B型陶艺品x件，求x的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数。分析：本题题目中没有出现明显的表示不等关系的字，所以不等关系比较隐含，分析题意可发现，制作两种型号的陶艺品的材料已给出限制，所用材料不能超过这个限制，因此我们就可以根据总材料的限制来列出本题的不等式组。解：（1）设制作B型陶艺品x件，则制作A型陶艺品为（50－x）件，由题意，得29x)x50(3.036x4.0)x50(9.0解得20x18（2）由（1）知20x18，又因为x为整数，所以x=18、19、20，50－x=32、31、30所以七（2）班制作A型和B型陶艺品的件数有三种可能：可能一：制作A型陶艺32件，B型陶艺18件；可能二：制作A型陶艺31件，B型陶艺19件；可能三：制作A型陶艺30件，B型陶艺20件。例7.市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株。甲种树苗50元/株，乙种树苗80元/株，有关统计说明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。（1）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗？（2）若希望树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？解：（1）设购买甲种树苗x株，则购买乙种树苗)x500(株。由题意得：34000)x500(80x50解这个不等式，得：200x（2）设见（1），由题意得500%92)x500%(95x%90解这个不等式，得：300x又设购买两种树苗的费用之和为y元，则)x500(80x50y即：40000x30y由一次函数的增减性知：当300x时，所用的购树费用最少，费用是31000元。例8.“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游；现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元，若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金，请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。解：单租42座客车：2.942385故应租10辆。共需租金320010320（元）单租60座客车：4.660385故应租7辆，共需租金32207460（元）设租用42座客车x辆，则60座的客车租)x8(辆由题意得3200)x8(460x320385)x8(60x42解之得：1855x733∵x只能取整数，故x=4，5当x=4时，租金为：312044604320（元）当5x时，租金为：298034605320（元）答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，所用租金最少。例9.某企业为了适应市场经济需要，决定进行人事结构的调整，该企业现有生产性企业人员100人，平均每人全年可创产值a万元，现欲从中分流出x人去从事服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20％，而分流从事服务性行业的人员平均每人可创造产值3.5a万元，如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值的一半，试确定分流后从事服务性行业的人数。分析：此题为在实际问题中应用数学知识解题。解题时注意抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不大于”“不少于”等的含义。解不等式应用题步骤与列方程解应用题的步骤类似，需要注意的是，解不等式（组），所得结果首先是一个解集，还要从解集中找出符合题意的答案，通常考虑不等式的正整数解。解：依题意得()(.100120%)1003512100xaaaxa解这个不等式组，得14271623x因为x为正整数，所以x取值为15或16答：从事服务性行业人员为15人或16人。例10.在车站开始检票时，有a名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票中检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需要30分钟才可将等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需要10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？解：设检票开始后每分钟增加旅客为x人，检票速度为每个检票口每分钟检票y人，5分钟内检票完毕要同时开放n个检票口依题意得axyaxyaxny30301102102553()()()（2）×3－（1），得ya15代入（1）便得xa30再把所求的x、y代入（3）便有aana63因为a0，所以11613n即n35.n取最小的整数，所以n＝4答：至少需要同时开放4个检票口。例11.辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。下表所表示的为每辆汽车的载重量及每吨获利情况苹果的品种ABC每辆汽车运载量/吨2.22.12每吨可获利润/百元685（1）设有x辆汽车装运A种苹果，用y辆汽车装运B种苹果，试根据图表中提供的信息，求y与x之间的关系式，并求x的取值范围。（2）设此次外销活动的利润为W（百元），问如何安排装运，可使公司获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）因为222122042..()xyxy化简可得yx202由题意，得xxxy22022202解得29x，由于x为自然数，所以x只能取2、