解三角形单元测试题及答案

1第一章解三角形正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即RCcBbAa2sinsinsin（其中R是三角形外接圆的半径）2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabcCC．2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin::；;sinsinBAba;sinsinCBcb;sinsinCAca3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin24）化角为边：;sinsinbaBA;sinsincbCB;sinsincaCA5）化角为边：RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin二.三角形面积1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin21三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22222.变形：bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos2222注意整体代入，如：21cos222Bacbca利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若，，所以为锐角②若为直角Aabc222③若，所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，；两边之差小于第三边：，，；在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin4)三角形内的诱导公式：sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tanCCCCCBA7)三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点3解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为()A.π12B.π6C.π4D.π32．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π33.在△ABC中，已知|AB|＝4，|AC→|＝1，S△ABC＝3，则AB→·AC→等于()A．－2B．2C．±4D．±24．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.25．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是()A．1x5B.5x13C．1x25D．23x257．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()A．－223B.223C．－63D.638．下列判断中正确的是()A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是()A.34B.32C.3或32D.32或3410．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，若△ABC的面积为32，则tanC为()A.3B．1C.33D.3211．在△ABC中，如果sinAsinB＋sinAcosB＋cosAsinB＋cosAcosB＝2，则△ABC是()A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形12．△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则角C的度数是()A．60°B．45°或135°C．120°D．30°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC4(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝233，求边c的值．18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋12c＝b.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.520．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知.coscoscos2CbBcAa(1）求Acos的值；(2）若23coscos,1CBa，求边c的值.21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b.(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．22．如图，在ABC中，点D在BC边上，33AD，5sin13BAD，3cos5ADC．(1）求sinABD的值；(2）求BD的长．6解三角形答案1．B2．B3.D4．D5．D6．D7．D8．B9．D10．C11．C12．B13．45°14．10315．8616.3317．【答案】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝13(2)由cosA＝13得sinA＝223,则cosB＝－cos(A＋C)＝－13cosC＋223sinC，代入cosB＋cosC＝233得cosC＋2sinC＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sinφ＝33，cosφ＝63(0φπ2)则C＋φ＝π2，于是sinC＝63，由正弦定理得c＝asinCsinA＝32．18．解(1)∵a＝2bsinA，∴sinA＝2sinB·sinA，∴sinB＝12.∵0Bπ2，∴B＝30°.(2)∵a＝33，c＝5，B＝30°.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝(33)2＋52－2×33×5×cos30°＝7.∴b＝7.19．【答案】(1)由acosC＋12c＝b和正弦定理得，sinAcosC＋12sinC＝sinB，又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴12sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝12，∵0＜A＜π，∴A＝3.(2)由正弦定理得，b＝asinB2sinBsinA3＝，c＝asinC2sinA3＝sinC，则l＝a＋b＋c＝1＋23(sinB＋sinC)＝1＋23［sinB＋sin(A＋B)］＝1＋2(32sinB＋12cosB)＝1＋2sin(B＋6).∵A＝3，∴B∈(0，23)，∴B＋6∈(6，56)，∴sin(B＋6)∈(12，1］，∴△ABC的周长l的取值范围为(2,3］.20【答案】（1）由CbBcAacoscoscos2及正弦定理得,cossincossincossin2CBBCAA即.sincossin2CBAA又,ACB所以有,sincossin2AAA即.sincossin2AAA而0sinA，所以.21cosA(2）由21cosA及0＜A＜，得A＝.3因此.32ACB由,23coscosCB得,2332coscosBB7即23sin23cos21cosBBB，即得.236sinB由,3A知.65,66B于是,36B或.326B所以6B，或.2B若,6B则.2C在直角△ABC中，c13sin，解得;332c若,2B在直角△ABC中，,13tanc解得.33c21．解(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，由此得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.22．【答案】（1）因为3cos5ADC，所以24sin1cos5ADCADC．因为5sin13BAD，所以212cos1sin13BADBAD．因为ABDADCBAD，所以sinsinABDADCBADsincoscossinADCBADADCBAD412353351351365．(2）在△ABD中，由正弦定理，得sinsinBDADBADABD，所以533sin132533sin65ADBADBDABD．