图像傅里叶变换

研究生课程数字图像处理和分析DigitalImageProcessingandAnalysis杜红E_mail:[e-mail]第三章傅里叶变换傅里叶变换为什么要在频率域研究图像增强可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行傅里叶变换定义一维连续傅里叶变换及反变换单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)f(x)ej2uxdxF(u)1其中，jF(u)ej2uxduf(x)傅里叶变换定义傅里叶变换定义从欧拉公式ecosjsinfxcos(2ux)/Mjsin(2ux)/Mfxcos2ux/Mjsin2ux/M一维离散傅里叶变换及反变换jM1x01MF(u)fxej(2ux)/MM1x0M1x01M1M傅里叶变换FuRuIu22uarctan傅里叶变换的极坐标表示FuFueju幅度或频率谱为12R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部相角或相位谱为IuRu傅里叶变换PuFuRuIu傅里叶变换的极坐标表示功率谱为f(x)的离散表示F(u)的离散表示222fxfx0xxx0,1,2,...,M1FuFuuu0,1,2,...,M1傅里叶变换傅里叶变换定义Fu,vRu,vIu,v22u,varctan二维DFT的极坐标表示Fu,vFu,veju,v幅度或频率谱为12R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部相角或相位谱为Iu,vRu,v傅里叶变换Pu,vFu,vRu,vIu,vfx,y1二维DFT的极坐标表示功率谱为用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心u=0,1,2,…,M-1,v=0,1,2,…,N-1222FuM/2,vN/2F(u,v)的原点变换xy傅里叶变换fx,yF(0,0)表示这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度级M1N1x0y01MNF0,0傅里叶变换如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是对称的，即Fu,vFu,v傅里叶变换的频率谱是对称的Fu,vFu,v傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换二维傅里叶变换的性质1.2.3.4.5.6.7.8.9.平移性质分配律尺度变换（缩放）旋转性周期性和共轭对称性平均值可分性卷积相关性傅里叶变换1.傅里叶变换对的平移性质(1)(2)公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值fx,yej2u0x/Mv0y/NFuu0,vv0fxx0,yy0Fu,vej2ux0/Mvy0/N以表示函数和其傅里叶变换的对应性傅里叶变换1fx,y11.傅里叶变换对的平移性质（续）当u0=M/2且v0=N/2,带入（1）和（2），得到exyej(xy)j2u0x/Mv0y/NFuM/2,vN/2xyuv傅里叶变换2.分配律根据傅里叶变换的定义，可以得到f1x,yf2x,yf1x,yf2x,yf1x,yf2x,yf1x,yf2x,y上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足傅里叶变换3.尺度变换（缩放）给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立afx,yaFu,vFu/a,v/b1abfax,by傅里叶变换4.旋转性引入极坐标xrcos,yrsin,ucos,vsin将f(x,y)和F(u,v)转换为fr,和F,。将它们带入傅里叶变换对得到fr,0F,0f(x,y)旋转角度0，F(u,v)也将转过相同的角度F(u,v)旋转角度0，f(x,y)也将转过相同的角度傅里叶变换5.周期性和共轭对称性尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x,y)只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定同样的结论对f(x,y)在空域也成立Fu,vFuM,vFu,vNFuM,vNfx,yfxM,yfx,yNfxM,yN上述公式表明傅里叶变换Fu,vFu,v5.周期性和共轭对称性如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性Fu,vFu,v其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.傅里叶变换对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长度为M，对称性是指频谱关于原点对称周期性和共轭对称性举例半周期的傅里叶频谱一幅二维图像的傅里叶频谱全周期的傅里叶频谱中心化的傅里叶频谱fx,yej2vy/Nx0y01M1j2ux/M1N1Fx,vx0e6.F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。分离性Fu,veMN1M1j2ux/MM傅里叶变换6.分离性——二维傅里叶变换的全过程先通过沿输入图像的每一行计算一维变换再沿中间结果的每一列计算一维变换可以改变上述顺序，即先列后行上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换傅里叶变换fx,yfx,yfx,y7.平均值由二维傅里叶变换的定义而M1N1x0y01MNFu,vfx,yej2ux/Mvy/NM1N1x0y01MN所以F0,0M1N1x0y01MN傅里叶变换fx,yF0,07.平均值所以上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级傅里叶变换fm,nhxm,yn8.卷积理论大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散卷积1M1N1MNm0n0fx,yhx,y卷积定理fx,yhx,yFu,vHu,vfx,yhx,yFu,vHu,v傅里叶变换fm,nhxm,ynfx,yhx,yFu,vHu,v9.相关性理论大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关f*表示f的复共轭。对于实函数，f*＝f相关定理1M1N1*MNm0n0性定义为fx,yhx,yfx,yhx,yF*u,vHu,v*傅里叶变换fx,yfx,yFu,vRu,vIu,vfx,yFu,vFu,v自相关理论2222注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方傅里叶变换卷积和相关性理论总结卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域f(x,y)是原始图像h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大傅里叶变换相关性匹配举例图像f(x,y)模板h(x,y)延拓图像f(x,y)相关函数图像延拓图像h(x,y)通过相关图像最大值的水平灰度剖面图傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换及其反变换傅里叶变换的性质快速傅里叶变换(FFT)只考虑一维的情况，根据傅里叶变换的分离性可知，二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到快速傅里叶变换(FFT)为什么需要快速傅里叶变换？快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M，如M=1024≈103,则原始变换算法需要106次计算，而FFT需要104次计算，FFT与原始变换算法之比是1：1001M1Mx0Fufxej2ux/Mu0,1,2,...,M1对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)与ej2ux/M相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M2FFT算法基本思想FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式M1x01MFu快速傅里叶变换(FFT)12FevenuFodduW2ukFu12FevenuFodduW2ukFuKfxej2ux/Mu0,1,2,...,M1FFT算法基本思想其中：M=2KFeven(u)、Fodd(u)是K个点的傅里叶值u0,1,2,...,M1快速傅里叶变换(FFT)12FevenuFodduW2ukFu12FevenuFodduW2ukFuKFFT公式推导FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。为方便起见用下式表达离散傅立叶变换公式这里是一个常数1M1Mx0Fufxej2ux/M快速傅里叶变换(FFT)M1x0fxWMux1MWMej2/M快速傅里叶变换(FFT)假设M的形式是M2nn为正整数。因此，M可以表示为M2K将M=2K带入上式2K1x0fxW2uxK12KFu11K1u2x1K1u2x12K212KKWWxfuF2KWxf快速傅里叶变换(FFT)推导：因为所以带入上式有WMej2/M11K1ux1K1uxu2Kx0Kx0W22Kuxej2(2ux)/2Kej2(ux)/KWKuxx0x0快速傅里叶变换(FFT)定义两个符号f2xWKux1K1KFevenuf2x1WKux1K1KFodduu0,1,2,...,K1FevenuFodduW2K快速傅里叶变换(FFT)得到FFT的第一个公式该公式说明F(u)可以通过奇部和偶部之和来计算u12FuWKuej2WKu1WW2uKej1W2uK1快速傅里叶变换(FFT)推导：WKu2uK2Kej2uK/2Kej2u/2KejWKuKej2(uK)/Kej2u/Kej2W2uK1f2xW2Kx0f2x1W2Kf2xWKf2x1WKuKxW2KuKf2xWKx0f2x1WKuxW2uK快速傅里叶变换(FFT)K1x0K1x0uKx1K112KfxW2KuKx12K12Kx0FuK1K1uK2x1K11K1uK2x2Kx011K1