2008—2017年全国初中数学竞赛试题含答案

1“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x，y满足：4x4－2x2＝3，y4＋y2＝3，则4x4＋y4的值为（）（A）7（B）1＋132（C）7＋132（D）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y＝x2＋mx＋n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）（A）512（B）49（C）1736（D）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有（）（A）6条（B）8条（C）10条（D）124．已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1．以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）（A）52a（B）1（C）32（D）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v＝uv＋v．若关于x的方程x*（a*x）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．8．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为______．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为______．10．关于x，y的方程x2＋y2＝208(x－y)的所有正整数解为________．三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交FMDCBA2于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．3简答：一．选择题ACBBD；二．填空题6.a＞0或a＜－1；7.4；8.9；9.163；10.x＝48，x＝160，y＝32；y＝32．三．解答题：11.（1）k＝2b－b22(b＋3)，b＞2；（2）当b＝2＋10，k＝－1时，△OAB面积的最小值为7＋210；12.存在满足题设条件的质数p，q.当p＝2，q＝5时，方程2x2－5x＋2＝0的两根为x1＝12，x2＝2.它们都是有理数；13.存在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略.14.n的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a，b满足2242(3)42ababa，则ab等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2【答】C．解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为22(3)0bab，于是32ab，，从而ab＝1．2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．4（A）512（B）512（C）1（D）2【答】A．解：因为△BOC∽△ABC，所以BOBCABAC，即11aaa，所以，210aa．由0a，解得152a．3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组322axbyxy，只有正数解的概率为（）．（A）121（B）92（C）185（D）3613【答】D．解：当20ab时，方程组无解．当02ba时，方程组的解为62,223.2bxabayab由已知，得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02baba由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612ab，，，，，，，共有5×2＝10种情况；或1456ab，，，，共3种情况．又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613．4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，90B.动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．（第2题）5（A）10（B）16（C）18（D）32【答】B．解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故S△ABC＝12×8×4＝16.5．关于x，y的方程22229xxyy的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组【答】C．解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为22(229)0xyxy．由于该方程有整数根，则判别式≥0，且是完全平方数．由2224(229)7116yyy≥0，解得2y≤11616.577．于是2y01491611610988534显然，只有216y时，4是完全平方数，符合要求．当4y时，原方程为2430xx，此时121,3xx；当y＝－4时，原方程为2430xx，此时341,3xx．所以，原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、（第4题）图1图26后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加，得()()250003000kxykxyk，则237501150003000xy．7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为．解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．由题设知13ACAD，13ABAE，在△FHA和△EFA中，90EFAFHA，FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAFAFAE.而AFAB，所以AHAB13.8．已知12345aaaaa，，，，是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数，若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根，则b的值为．【答】10．解：因为123452009bababababa，且12345aaaaa，，，，是五个不同的整数，所有12345bababababa，，，，也是五个不同的整数．（第7题）7又因为2009117741，所以1234541bababababa．由123459aaaaa，可得10b．9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．【答】6027．解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且90ACB．作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由1452ECFACB，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以EFBFACBC，即201520xx，解得607x．所以60227CEx．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．【答】2．解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8x．于是报7的人心里想的数是12(8)4xx，报9的人心里想的数是16(4)12xx，报1的人心里想的数是20(12)8xx，报3的人心里想的数是4(8)4xx．所以4xx，解得2x．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）（第9题）（第10题）811．已知抛物线2yx与动直线cxty)12(有公共点),(11yx，),(22yx，且3222221ttxx.（1）求实数t的取值范围；（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.解：（1）联立2yx与cxty)12(，消去y得二次方程2(21)0xtxc①有实数根1x，2x，则121221,xxtxxc．所以2221212121[()()]2cxxxxxx=221[(21)(23)]2ttt＝21(364)2tt．②………………5分把②式代入方程①得221(21)(364)02xtxtt．③………………10分t的取值应满足2221223ttxx≥0，④且使方程③有实数根，即22(21)2(364)ttt＝2287tt≥0，⑤解不等式④得t≤-3或t≥1，解不等式⑤得222≤t≤222.所以，t的取值范围为222≤t≤222.⑥………………15分(2)由②式知22131(364)(1)222cttt.由于231(1)22ct在222≤t≤222时是递增的，所以，当222t9时,2min3211162(21)2224c.………………20分12．已知正整数a满足3192191a，且2009a，求满足条件的所有可能的正整数a的和．解：由3192191a可得31921a．619232，且311(1)1(1)(1)(1)aaaaaaaa．………………5分因为11aa