简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

03简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、非p的真假判断pqp∧qp∨q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，非p(x)要点整合1．若p∧q为真，则p，q同为真；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假；若p∨q为假，则p，q同为假；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真．2．“p∧q”的否定是“(非p)∨(非q)”；“p∨q”的否定是“(非p)∧(非q)”．题型一.含有一个逻辑联结词命题的真假性例1.已知命题p：对任意x∈R，总有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(非p)∧(非q)C．(非p)∧qD．p∧(非q)解析：根据指数函数的图象可知p为真命题．由于“x1”是“x2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以非q为真命题．逐项检验可知只有p∧(非q)为真命题．故选D.[答案]D判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤第一步：先判断命题p与q的真假性，从而得出非p与非q的真假性．第二步：根据“p∧q”与“p∨q”的真值表进行真假性的判断．变式1．设命题p：3≥2，q：函数f(x)＝x＋1x(x∈R)的最小值为2，则下列命题为假命题的是()A．p∨qB．p∨(非q)C．(非p)∨qD．p∧(非q)解析：选C.命题p：3≥2是真命题，命题q是假命题，∴(非p)∨q为假命题，故选C.变式2．已知命题p：∀x∈R，2x3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(非p)∧q为真命题，则x的值为()A．1B．－1C．2D．－2解析：选D.∵非p：∃x∈R，2x≥3x，要使(非p)∧q为真，∴非p与q同时为真．由2x≥3x得23x≥1，∴x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，∴x＝1或x＝－2，又x≤0，∴x＝－2.变式3．设p：y＝logax(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，若p∨(非q)为假，则a的范围为__________．解析：∵p∨(非q)为假，∴p假q真．p为假时，a1，q为真时，(2a－3)2－40，即a12或a52，∴a的范围为(1，＋∞)∩－∞，12∪52，＋∞＝52，＋∞.答案：52，＋∞题型二.含有一个量词的命题的否定例2.命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故选A.[答案]A(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．变式1．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0的否定为()A．非p：∃x0∈R，x20＋2x0＋20B．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0C．非p：∀x∈R，x2＋2x＋20D．非p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2＜0解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p：∀x∈R，x2＋2x＋20，故选C.变式2．设命题p：任意两个等腰三角形都相似，q：∃x0∈R，x0＋|x0|＋2＝0，则下列结论正确的是()A．p∨q为真命题B．(非p)∧q为真命题C．p∨(非q)为真命题D．(非p)∧(非q)为假命题解析：选C.∵p假，非p真；q假，非q真，∴p∨q为假，(非p)∧q为假，p∨(非q)为真，(非p)∧(非q)为真，故选C.题型三.全称命题与特称命题真假性的应用例3.已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．[－2，2]解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.[答案]A根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤第一步：对两个简单命题进行真假性判断．第二步：根据p∧q为真，则p真q真，p∧q为假，则p与q至少有一个为假，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，p∨q为假，则p假q假．第三步：根据p、q的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．变式1．若命题“存在实数x0，使x20＋ax0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－2]B．[－2，2]C．(－2，2)D．[2，＋∞)解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命题，则Δ＝a2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2]．变式2．(名师原创)若“∀x∈π6，2π3，sinx≤m”是真命题，则实数m的范围为()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C.－∞，12D．32，＋∞解析：选A.∵∀x∈π6，2π3，12≤sinx≤1.∴“∀x∈π6，2π3，sinx≤m”为真命题时，m≥1，故选A.【真题演练】1.【浙江理数】命题“*xn，RN，使得2nx”的否定形式是（）A．*xn，RN，使得2nxB．*xn，RN，使得2nxC．*xn，RN，使得2nxD．*xn，RN，使得2nx【答案】D【解析】的否定是，的否定是，2nx的否定是2nx．故选D．2.【高考新课标1，理3】设命题p：2,2nnNn，则p为()（A）2,2nnNn（B）2,2nnNn（C）2,2nnNn（D）2,=2nnNn【答案】C【解析】p:2,2nnNn，故选C.3.【高考浙江，理4】命题“**,()nNfnN且()fnn的否定形式是（）A.**,()nNfnN且()fnnB.**,()nNfnN或()fnnC.**00,()nNfnN且00()fnnD.**00,()nNfnN或00()fnn【答案】D.【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.4.【陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【答案】B5.【重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x0，q：“x1”是“x2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．非p∧非qC．非p∧qD．p∧非q【答案】D【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x1”是“x2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以非q为真命题，所以p∧非q为真命题．6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(p)∨(q)B．p∨(q)C．(p)∧(q)D．p∨q【答案】A“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.