2013中考数学【要点梳理+助学微博+基础自测+题型分析+答题模板+易错警示】第4课-分式及其运算课

第4课分式及其运算分式的分子与分母都乘以(或除以)_____________________，分式的值不变，用式子表示为：_____________________________________．(2)当_______时，分式AB有意义；当_______时，分式AB无意义；当________________时，分式AB的值为零．(2)当_______时，分式AB有意义；当_______时，分式AB无意义；当________________时，分式AB的值为零．(1)形如___________________________________的式子叫分式；要点梳理1．分式的基本概念：2．分式的基本性质：同一个不等于零的AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷M(M是不等于零的整式)．B≠0B＝0A＝0且B≠0整式(M是不等于零的整式)(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．用式子表示为：ab＝－a－b＝－a－b＝－－ab，－ab＝a－b＝－ab.(2)分式的加减法：同分母加减法：__________________；异分母加减法：__________________．要点梳理3．分式的运算法则：ac±bc＝a±bcba±dc＝bc±adac(3)分式的乘除法：ab·cd＝___________；ab÷cd＝___________．(4)分式的乘方：abn＝__________________．要点梳理ab·cd＝acbdab÷cd＝adbcanbn(n为正整数)要点梳理4．分式的约分、通分：把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质．把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．遇有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．要点梳理5．分式的混合运算：6．解分式方程其思路是去分母转化为整式方程，要特别注意验根．使分母为0的未知数的值，是增根，需舍去．助学微博一个思想类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识．分式与分数有许多类似地方，因此在分式的学习中，要注意与分数进行对比．(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法灵活，若能根据特点灵活求解，将会事半功倍．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．助学微博两个技巧(2)分式求值中的常用技巧分式求值题所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化和沟通．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．1．(2012·韶山初三质量检测)若分式2x－5有意义．．．，则x的取值范围是()A．x≠5B．x≠－5C．x5D．x－5基础自测A解析若分式2x－5有意义，则分母x－5≠0，x≠5.2．(2011·珠海)若分式2aa＋b的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值()A．是原来的20倍B．是原来的10倍C．是原来的110倍D．不变基础自测D解析根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．由此可知该运算中分式的值没有改变，故选D.3．(2012·安徽)化简x2x－1＋x1－x的结果是()A．x＋1B．x－1C．－xD．x基础自测D解析本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．原式＝x2x－1－xx－1＝x2－xx－1＝x（x－1）x－1＝x.4．(2012·昆山一模)若xy＝3，则x＋yy等于()A.43B．xyC．4D.xy基础自测C解析由xy＝3，得x＝3y，则x＋yy＝3y＋yy＝4yy＝4.5．(2011·芜湖)分式方程2x－5x－2＝32－x的解是()A．x＝－2B．x＝2C．x＝1D．x＝1或x＝2基础自测C解析当x＝1时，方程左边＝2×1－51－2＝－3－1＝3，右边＝32－1＝3，∴x＝1是方程的解.【例1】(1)(2012·宁夏)当a________时，分式1a＋2有意义．解析当a＋2≠0，a≠－2时，分式1a＋2有意义．(2)(2011·泉州)当x＝________时，分式x－2x＋2的值为0.题型分类题型一分式的概念,求字母的取值范围≠－22解析当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值为0.探究提高(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．知能迁移1(1)使分式x2x－4有意义的x的取值范围是________．解析当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，故x的取值范围是x≠2.知能迁移1(1)使分式x2x－4有意义的x的取值范围是________．(2)当x＝________时，分式x－3x－3的值为0.x≠2－3解析当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，而x－3≠0，x≠3，故x＝－3.题型分类题型一分式的概念,求字母的取值范围【例2】(1)(2012·德州)已知：x＝3＋1，y＝3－1，求x2－2xy＋y2x2－y2的值.题型分类题型二分式的性质解原式＝（x－y）2（x－y）（x＋y）＝x－yx＋y.当x＝3＋1，y＝3－1时，原式＝223＝13＝33.题型分类题型二分式的性质解解法一：∵1x－1y＝3，∴y－xxy＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.原式＝2x－2y－14xyx－y－2xy＝2（x－y）－14xy（x－y）－2xy＝－6xy－14xy－3xy－2xy＝－20xy－5xy＝4.(2)已知1x－1y＝3，求分式2x－14xy－2yx－2xy－y的值.解法二：∵1x－1y＝3，∴xy≠0，∴原式＝（2x－14xy－2y）÷xy（x－2xy－y）÷xy＝2y－14－2x1y－2－1x＝－21x－1y－14－1x－1y－2＝－6－14－3－2＝－20－5＝4.探究提高(1)分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；(2)将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；(3)巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，将要求的算式向已知条件“凑”而求得结果．知能迁移2(1)(2011·聊城)化简：a2－b2a2＋2ab＋b2÷2a－2ba＋b＝________．题型分类题型二分式的性质12解析原式＝（a＋b）（a－b）（a＋b）2·a＋b2（a－b）＝12.(2)下列运算中，错误的是()A.ab＝acbc(c≠0)B.－a－ba＋b＝－1C.0.5a＋b0.2a－0.3b＝5a＋10b2a－3bD.x－yx＋y＝y－xy＋x题型分类题型二分式的性质D解析x－yx＋y＝－y－xy＋x.【例3】(2012·河南)先化简x2－4x＋4x2－2x÷x－4x，然后从－5x5的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．题型分类题型三分式的四则混合运算解原式＝（x－2）2x（x－2）÷x2－4x＝（x－2）2x（x－2）·x（x＋2）（x－2）＝1x＋2.∵－5x5，且x为整数，∴若使分式有意义，只能取－1或1.当x＝1时，原式x＝13；当x＝－1时，原式＝1.探究提高准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.知能迁移3(1)(2012·长沙)先化简，再求值：a2－2ab＋b2a2－b2＋ba＋b，其中a＝－2，b＝1.题型分类题型三分式的四则混合运算解原式＝（a－b）2（a＋b）（a－b）＋ba＋b＝a－ba＋b＋ba＋b＝aa＋b，把a＝－2，b＝1代入得：原式＝－2－2＋1＝2.(2)(2011·贵阳)在三个整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x＝2时分式的值．解答案不唯一．如，选择x2－1为分子，x2＋2x＋1为分母，组成分式x2－1x2＋2x＋1.x2－1x2＋2x＋1＝（x＋1）·（x－1）（x＋1）2＝x－1x＋1.将x＝2代入x－1x＋1，得原式＝2－12＋1＝13.【例4】(2012·天门)解分式方程：2x2x－5－22x＋5＝1.题型分类题型四分式方程的解法解原方程可变形为2x(2x＋5)－2(2x－5)＝(2x－5)(2x＋5)，展开，得4x2＋10x－4x＋10＝4x2－25,整理得6x＝－35，解得x＝－356.检验：x＝－356时，2x＋5≠0，且2x－5≠0，∴x＝－356是原分式方程的解.探究提高(1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去．知能迁移4(1)(2012·梅州)解方程：4x2－1＋x＋21－x＝－1.题型分类题型四分式方程的解法解方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x2－1)，整理得3x＝1，解得x＝13.经检验，x＝13是原方程的解．故原方程的解是x＝13.(2)(2012·荆门东宝区模拟)若关于x的分式方程x－ax－1－3x＝1无解，则a＝________．1或－2解析x－ax－1－3x＝1，去分母，得x(x－a)－3(x－1)＝x(x－1)，整理，得(a＋2)x＝3.当a＋2＝0时，a＝－2，方程无解；当x＝1时，a＋2＝3，a＝1，方程无解．综上，a＝1或－2.试题当a取什么实数时，关于x的方程xx－2＋x－2x＋4x－a2x（x－2）＝0只有一个实根？答题模板3.分式方程的增根问题审题视角原分式方程去分母，化为整式方程，可知是一元二次方程，该一元二次方程的实根有两种情况：方程有两个相等的实数根，它们是原方程的一个实根；或方程有两个不相等的实根，恰有一个是增根，另一个是原方程的根．规范答题解：xx－2＋x－2x＋4x－a2x（x－2）＝0，去分母，得2x2＋2(x－2)2＋4x－a＝0，4x2－4x＋8－a＝0，方程4x2－4x＋8－a＝0只有一个实根的情况有两种：(1)这个二次方程有相等的两实根，那么有△＝(－4)2－4×4×(8－a)＝0，解得a＝7，这时4x2－4x＋1＝0，x＝12是原方程的一个实数根．(2)方程的两个不等实根中恰有一个是原方程的增根，这个增根是x＝0或x＝2.令△＝(－4)2－4×4×(8－a)0，解得a7，若增根为x＝0，代入4x2－4x＋8－a＝0，解得a＝8，此时4x2－4x＝0，解得x＝1是原方程的一个实数根，x＝0是增根，舍去．若增根为x＝2，代入4x2－4x＋8－a＝0，解得a＝16，此时4x2－4x－8＝0，x2－x－2＝0，解得x＝－1是原方程的一个实数根，x＝2是增根，舍去．综上所述，当a＝7或a＝8或a＝16时，关于x的方程xx－2＋x－2x＋4x－a2x（x－2）＝0只有一个实根．答题模板第一步：去分母，把分式方程转化为整式方程；第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程的增根；第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中，以确定分式方程中某些系数的值；第四步：考虑方程