函数单调性方法和各种题型

(一)判断函数单调性的基本方法Ⅰ、定义法：定义域判断函数单调性的步骤：取值、作差（或商）变形、定号、判断。例1：已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞，+∞)上的单调性并证明Ⅱ、直接法（一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出）：在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数例2：判断函数y=-x+1+1/x在（0，+∞）内的单调性Ⅲ、图像法：说明：⑴单调区间是定义域的子集⑵定义x1、x2的任意性⑶代数：自变量与函数值同大或同小→单调增函数自变量与函数相对→单调减函数例3：y＝|x2＋2x－3|练习：(二)函数单调性的应用Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域（最值）根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论：（1）若f(x)在某定义域[a,b]上是增函数，则当x=a时,f(x)有最小值f(a)，当x=b时,f(x)有最大值f(b)。（2）若f(x)在某定义域[a,b]上是减函数，则当x=a时,f(x)有最大值f(a)，当x=b时,f(x)有最小值f(b)。例1：求下列函数的值域(1)y=x2-6x+3,x∈[-1,2](2)y=-x2+2x+2,x∈[-1,4]练习题：1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小，在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在[a,b]上的最小值是()2.数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是()3、有函数13xxy存在、最大值、最小值都不，最小值、最大值，最小值、最大值，最小值、最大值DCBA4-44-0044、的值域为时，函数当1435,02xxxfx5,5,323205,0fcDffCffBffA、、、、、5、求函数y=-x-6+的值域x-1Ⅱ、利用函数单调性求单调区间1、________..62是的单调区间函数xxxf2、的递增区间是函数)4-lg(52xxy.3、若函数22()82,()2,gxxxfxx则(())ygfx的单调区间是.Ⅲ、利用函数单调性求未知数范围1.函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是2、函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，则实数a的取值范围是________．3、在上是减函数，则a的取值范围是（）。A．B．C．D．4、函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________5、函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1x2),且在［x2,+∞)上单调递增，则b的取值范围是_________.Ⅳ、利用函数单调性解不等式1、（1）若f(x)在R上是减函数，试比较f(2)与f(a2-2a+4)的大小。（2）若f(x)在R上是减函数，试比较f(a2)与f(-2a)的大小。2、已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)0则a的取值范围是()A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)3、定义在]11[，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。4、设是定义在上的增函数，，且，求满足不等式的x的取值范围.能力突破：1．已知(31)4,1()log,1aaxaxfxxx是(,)上满足1212()()0fxfxxx，那么a的取值范围是.2.已知()fxxaxaxbxb，若存在正数m使得()0fm,则不等式()0fx的解集是.3.解方程3381050.(1)1xxxx（提示：已知()fx是单调函数，若1212()().fxfxxx）4.定义在R上的函数)(xfy，0)0(f，当x＞0时，1)(xf，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.