函数的单调性

函数的单调性一、函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)ykxk：○1当0k时，函数ykx在定义域R上是增函数；○2当0k时，函数ykx在定义域R上是减函数.(2)反比例函数(0)kykx：○1当0k时，函数kyx的单调递减区间是(,0),(0,)，不存在单调递增区间；○2当0k时，函数kyx的单调递增区间是(,0),(0,)，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)ykxbk：○1当0k时，函数ykxb在定义域R上是增函数；○2当0k时，函数ykxb在定义域R上是减函数.（4）二次函数2(0)yaxbxca：○1当0a时，函数2yaxbxc的图像开口向上，单调递减区间是(,]2ba，单调递增区间是[,)2ba；○2当0a时，函数2yaxbxc的图像开口向下，单调递增区间是(,]2ba，单调递减区间是[,)2ba.注意：3()yfxx在定义域R上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()fxafx与，当0a时有相同的单调性，当0a时有相反的单调性；如函数()fxx与3()3fxx的单调性相反，函数()fxx与3()3fxx的单调性相同；（2）当函数()fx恒为正（或恒为负）时()fx与1()fx有相反的单调性，如：函数1()0fxx((,0))x是递增函数，则111()xfxx在区间(,0)是递减函数；（3）若()0fx，则()fx与()fx具有相同的单调性，如：函数2()234fxxx，在定义域R上，()0fx，且()fx是3(,]4上的递减函数，是3[,)4上的递增函数，所以函数2()234fxxx是3(,]4上的递减函数，是3[,)4上的递增函数；（4）若()fx，()gx的单调性相同，则()()fxgx的单调性与()fx，()gx的单调性相同.如211()xFxxxx，令1(),()fxxgxx，即()()()Fxfxgx，因为函数()fx在R上单调递减，()gx的单调递减区间是(,0),(0,），所以函数211()xFxxxx的单调递减区间是(,0),(0,）；(5)若()fx，()gx的单调性相反，则()()fxgx的单调性与()fx的相同.因为()gx与()fx的单调性相同，所以()()fxgx的单调性与()fx的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1已知定义在(0,)上的函数()fx对任意,(0,)xy，恒有()()()fxyfxfy，且当01x时()0fx，判断()fx在(0,)上的单调性.解设,(0,),0xxhh，则()()()[()]xfxhfxfxhfxhxh()[()()]()xxfxhffxhfxhxh.01,()0,()0xxxffxhxhxh，()()0fxhfx，所以函数()fx在(0,)上的单调递减.二、复合函数单调性的判定方法求复合函数(())yfgx的单调性的步骤：（1）求出函数的定义域；（2）明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()yfuugx;（3）确定简单函数的单调性；（4）若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())yfgx为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())yfgx为减函数简记为“同增异减”.如下表所示：函数()ugx()yfu复合函数(())yfgx单调性增增增减增减增减减减减增实例2求函数2()34fxxx在定义域上的单调区间解：由解析式得2340xx，即函数的定义域为{|41}xxx或.令234txx，则yt.yt是增函数，而234txx在(,4]上是减函数，在[1,)上是增函数，函数2()34fxxx的递增区间为[1,)，递减区间为(,4].三、单调性的应用1.用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()yfx在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,xx且12xx，则12()()fxfx.减函数也有类似的性质.示例3已知函数()yfx在[0,)上是减函数，试比较3()4f与2(1)faa的大小.解：221331()244aaa，34与21aa都在区间[0,)内.又()yfx在区间[0,)上是减函数，23()(1).4ffaa注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4已知()fx是定义在[1,1]上的增函数，且(1)(13)fxfx，求x的取值范围.解()fx是定义在[1,1]上的增函数，且(1)(13)fxfx，可得不等式组111,1131,113,xxxx即02,20,31.2xxx解得102x，所以所求1[0,)2x.2.用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1）若()fx在定义域[,]ab是增函数，则当xa时，()fx取得最小值()fa当xb，()fx取得最大值()fb如图2.（2）若()fx在定义域[,]ab是减函数，则当xa时，()fx取得最大值()fa，当xb，()fx取得最小值()fb如图3.（3）已知函数(),[,],yfxxabacb，如果()fx在[,]ac上是单调递增（减）函数，在[,]cb上是单调递减（增）函数，则()fx在xc时取得最大（小）值，在xa或xb时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5求函数3284yxx的最大值.解：令()32fxx，()84gxx，则()()yfxgx.由题意得函数的定义域为(,2].()32fxx在(,2]上递增，()84gxx在(,2]上递减，但()84gxx在(,2]上递增，3284yxx在(,2]上为递增函数，当2x时，y有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f”的不等式根据函数()yfx在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()yfx在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),fxfx则12xx；若已知函数()yfx在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),fxfx则12xx，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6已知函数()yfx是R上的减函数，且(23)(56)fxfx，求实数x的取值范围.解：函数()yfx是R上的减函数，且(23)(56)fxfx，2356xx，(3,)x.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())yfgx的定义域，是函数()gx的定义域中，使中间变量()ugx属于函数()fu的定义域全体.示例1若函数()fx的定义域为[1,4]，求函数(4)fx的定义域.解：函数()fx的定义域为[1,4]，使得(4)fx有意义的条件是144x,即30x，则(4)fx的定义域为[3,0].注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.示例2已知(3)fx的定义域为[0,3]，求函数()fx的定义域.解题分析：函数(3)fx和()fx中的x并不是同一个量，若设3ux，则(3)fx变成()fu，那么u的取值范围才是函数()fx的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：(3)fx的定义域为[0,3]，03x，则336x，所以函数()fx的定义域为[3,6].二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如axbycxd（0c且分式不可约）的值域为{|}ayyc.示例3求函数311xyx的值域解：函数311xyx，331y，311xyx的值域为{|3}yy.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])yxxx的图像如右图所示，所以值域为[6,).3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x或通过变形能化成只出现“一个”x的函数，如1||,yx由||0x，则1||1x，可得(,1]y；又如2211172()24yxxx，因为2177()244x，所以2140177()24x，所以4(0,]7y.示例4求函数23()(221)1xfxxxx且的值域解：232(1)55()2111xxfxxxx，由221xx且，得11310xx且.令1tx，则130tt且.结合反比例函数5yt的图像可知，当130tt且，即[1,0)(0,3]t时，55553tt或.5555131xx或.515()2()27131fxfxxx或.23()(221)1xfxxxx且的值域为1-][7,)3（，.4.换元法：适用于无理式中含自变量的函.示例5求函数21yxx的值域.解：函数的定义域是{|1}xx.令1xt，则[0,)t，2+1xt，22212(21)2(1)2yttttt，0t，结合二次函数的图像2y，原函数的值域为（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)axbxcyaddxexf不全为零且分式不可约的函数.示例6求函数2224723xxyxx的值域.解：由2224723xxyxx得2(2)2(2)370yxyxy，当2y时，方程无解；当2y时，要使关于x的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0yyy，解得92.2y原函数的值域为92[-，2).6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x的解析式的函数.示例7求函数2211xyx的值域解：由2211xyx得2(1)10yxy，当1y时，方程无解：当1y时，要使关于x的方程有解，必须04(1)(1)0yy，解得11y.原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311xyx的值域.解：由311xyx得1(1)31(3)103yyxxyxyxy，只要30,3yy即，就有13yxy.原函数的值域为{y|3}y.