平面曲线的切线与法线

返回后页前页在本节中所讨论的曲线和曲面,由于它们的方程是以隐函数(组)的形式出现的,因此在求它们的切线或切平面时,都要用到隐函数(组)的微分法.§3几何应用一、平面曲线的切线与法线二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线返回后页前页一、平面曲线的切线与法线曲线L：(,)0;Fxy()(());yyxxxy或0000()()()xyyyFPFPxx000(,)PxyL为0P在条件：上一点,近旁,F满足隐函数定理条件,可确定可微的隐函数:处的切线：0LP在0000()()().yxxxFPFPyy或返回后页前页总之,当00((),())(0,0),xyFPFP时就有0000000000:((),());:()()()()0;(1):()()()()0.xyxyyxnFPFPFPxxFPyyFPxxFPyy法向量切线方程法线方程例1求笛卡儿叶形线332()90xyxy0(2,1)P在点处的切线与法线.33(,)2()9.Fxyxyxy解设由§1例2的讨论近旁满足隐函数定理0(3),2aFP这里在点返回后页前页的条件.容易算出00((),())(15,12),xyFPFP于是所求的切线与法线分别为15(2)12(1)0,5460;12(2)15(1)0,45130.xyxyxyxy即即2:sin0Lxyxy例2用数学软件画出曲线3230(,)P的图象；并求该曲线在点处的切线与法线.返回后页前页解在MATLAB指令窗内执行如下绘图指令:symsx,y;ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);就立即得到曲线L的图象(见本例末页).令容易求出:2(,)sin,Fxyxyxy00323030()(2cos)2,()(1cos)1.xPyPFPxyxyFPxxy返回后页前页由此得到L在点处的切线与法线分别为：0P2222(2)()(1)()0,(1)()(2)()0.xyxy3333333333若在上面的MATLAB指令窗里继续输入如下指令,便可画出上述切线与法线的图象(如图).holdon;a=(pi)^(1/3);b=a^2;ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b));ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))返回后页前页L0P返回后页前页22:2220,LAxBxyCyDxEyF0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF000000()222,()222.xyGPAxByDGPBxCyE则有例3设一般二次曲线为000(,).PxyL0P试证L在点处的切线方程为22(,)222,GxyAxBxyCyDxEyF令证返回后页前页000()()AxByDxx000()()0,BxCyEyy0000()AxxByxxyCyy00()()0.DxxEyyF22000000(222),FAxBxyCyDxEy由此得到所求切线为利用满足曲线L的方程,即00(,)xy整理后便得到返回后页前页二、空间曲线的切线与法平面(),(),,xxtyytt00000000()(),.()()()ytxxyyyyxxxtxtyt或先从参数方程表示的曲线开始讨论.在第五章§3已学过,对于平面曲线00000(,)((),())Pxyxtyt若是其上一点,则曲线0P在点处的切线为下面讨论空间曲线.返回后页前页(A)用参数方程表示的空间曲线::(),(),(),.Lxxtyytzztt0000000(,,)((),(),()),PxyzxtytztL若且有000000:.(2)()()()xxyyzzxtytzt222000()()()0,xtytzt0P类似于平面曲线的情形,不难求得处的切线为0P过点且垂直于切线的平面,称为曲线L在点处的法平面.0P返回后页前页000000()()()()()()0.(3)xtxxytyyztzz(,,)0,:(4)(,,)0.FxyzLGxyz因为切线的方向向量即为法平面的法向量,所以法平面的方程为(B)用直角坐标方程表示的空间曲线：设近旁具有连续的00000(,,);,PxyzLFGP在点一阶偏导数,且返回后页前页0(,,)(0,0,0),xyyzzxPJJJ(,)(,)(,),,.(,)(,)(,)xyyzzxFGFGFGJJJxyyzzx其中(),(),.xxzyyzzz0()0,xyJP不妨设于是存在隐函数组这也就是曲线L以z作为参数的一个参数方程.根据公式(2),所求切线方程为00000:.()()1xxyyzzxzyz返回后页前页应用隐函数组求导公式,有000000()()(),()()().zyxyxzxyxzJPJPyzJPJP于是最后求得切线方程为000000:.(5)()()()yzzxxyxxyyzzJPJPJP相应于(3)式的法平面方程则为0000:()()()()yzzxJPxxJPyy00()()0.(6)xyJPzz返回后页前页例4求空间曲线:sin,1cos,4sin(2)Lxttytzt00(2)Pt对应于在点处的切线和法平面.0(1,1,22),2P解容易求得故切向向量为000((),(),())xtytzt由此得到切线方程和法平面方程分别为(1,1,2).000(1cos,sin,2cos(2))ttt返回后页前页(1)(1)2(22)0,:2xyz24.2xyz即symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])绘制上述空间曲线的程序与所得图形如下:22:11;22zxy返回后页前页sin,1cos,4sin(2).xttytzt2t2t2t0t返回后页前页222222:50,Lxyzxyz222222(,,)50,(,,).FxyzxyzGxyzxyz例5求曲线0(3,4,5)P在点处的切线与法平面.解曲线L是一球面与一圆锥面的交线.令根据公式(5)与(6),需先求出切向向量.为此计算0PF,G在点处的雅可比矩阵:返回后页前页0068102.6810xyzPPxyzFFFxyzGGGxyz由此得到所需的雅可比行列式:0810()160,810yzJP068()0,68xyJP0106()120.106zxJP返回后页前页(160,120,0)(4,3,0),∥故切向向量为据此求得34,34250,43:5;50,xyxyzz切线即:4(3)3(4)0(5)0,430().xyzxyz法平面即平行于轴返回后页前页三、曲面的切平面与法线00000()()()().xyzzfPxxfPyy(,,)0(7)Fxyz以前知道,当f为可微函数时,曲面z=f(x,y)0000(,,)Pxyz在点处的切平面为S现在的新问题是:曲面由方程00000(,,),(,,)PxyzSFxyzP在给出.若点近旁具有连续的一阶偏导数,而且000((),(),())(0,0,0),(8)xyzFPFPFP返回后页前页000000()()(),(),()()yxxyzzFPFPfPfPFPFP0000000()()()().()()yxzzFPFPzzxxyyFPFP0()0,zFP0P不妨设则由方程(7)在点近旁惟一(,).zfxy地确定了连续可微的隐函数因为S0P所以在处的切平面为又因(8)式中非零元素的不指定性,故切平面方程返回后页前页一般应写成000000()()()()()()0.(9)xyzFPxxFPyyFPzz随之又得到所求的法线方程为000000.(10)()()()xyzxxyyzzFPFPFP回顾1现在知道,函数在点P的梯度(,,)Fxyzgrad()()()(),xyzFPFPiFPjFPk其实就是等值面在点P的法向量:(,,)Fxyzc返回后页前页((),(),()).xyznFPFPFP回顾2若把用方程组(4)表示的空间曲线L看作(,,)0(,,)0FxyzGxyz和曲面的交线,则L在0P点的切线与此二曲面在的法线都相垂0P直.而这两条法线的方向向量分别是01(,,),xyzPnFFF02(,,),xyzPnGGG1nL0P(,,)0Gxyz(,,)0Fxyz2n返回后页前页12000000()()()()()()xyzxyzijknnFPFPFPGPGPGP故曲线(4)的切向向量可取的向量积:12nn与这比前面导出(5),(6)两式的过程更为直观,也容易记得住.000(,)(,)(,).(,)(,)(,)PPPFGFGFGijkyzzxxy返回后页前页例6求旋转抛物面在点224xyz0(2,4,5)P解令则曲面的法向量为22(,,)4,Fxyzxyz1(2)2(4)1(5)0,xyz处的切平面和法线.0(2,4,5)(,,)(2,2,4)xyzPnFFFxy(4,8,4)(1,2,1).∥从而由(9),(10)分别得到切平面为法线为25;xyz即返回后页前页245.121xyz,0xaybfzczc()例7证明:曲面的任一切平面都过某个定点(这里f是连续可微函数).(,,),,xaybFxyzfzczc()证令则有(,,)xyzFFF12122()(),,.()ffxafybfzczczc返回后页前页10020001002000()()()()()()()()()0.()fPxxfPyyxafPybfPzzzc01002010200()()()()(),(),.()xafPybfPfPfPzc()0000(,,)Pxyz于是曲面在其上任一点处的法向量可取为由此得到切平面方程:将点代入上式,得一恒等式:(,,)(,,)xyzabc返回后页前页01002000()()()()()0,()xafPybfPczzc这说明点恒在任一切平面上.(,,)abc100200()()()()fPaxfPby返回后页前页:(,),(,),(,).(11)Sxxuvyyuvzzuv*四、用参数方程表示的曲面曲面也可以用如下双参数方程来表示:这种曲面可看作由一族曲线所构成:每给定v的一个值,(11)就表示一条以u为参数的曲线;当v取某个区间上的一切值时,这许多曲线的集合构成了一个曲面.现在要来求出这种曲面的切平面和法线的方程.00(,)uv所对应的点0000(,,),PxyzS为此假设且返回后页前页Sn120()vv0()uu0P0P(11)式中三个函数在近旁都存在连续的一阶偏导数.因为在处的法线必垂直于上过的S0PS0P任意两条曲线在的切线,0P所以只需在上取两条特S殊的曲线(见图):000(,),(,),(,)xxuvyyuvzzuv它们的切向量分别为00001(,)2(,)(,,),(,,),uuuuvvvvuvxyzxyz