二重积分单独讲解

12oxy第九章重积分与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”．所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域．它们之间存在着密切的联系，重积分可以通过定积分来计算．第一节二重积分的概念与性质本节主要内容1引例2二重积分的概念3二重积分的性质讲解提纲：一、引例引例1求曲顶柱体的体积设有曲顶柱体，它的底是xoy面上的闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，顶是曲面),(yxfz，这里0),(yxf且在上D连续，求其体积V．引例2求非均匀平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域D，它在点),(yx处的面密度为),(yx，这里0),(yx且在D上连续，求薄片的质量M．二、二重积分的定义：设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域：n,,,21，以i表示第i个小闭区域的面积，以i表示i的直径，并令imax．在每个i上任取一点),(ii，作和式：niiiif1),(．如果当0yx),(iii2时，该积分和的极限存在，则称此极限值为),(yxf在区域D上的二重积分，记作Ddyxf),(，即niiiDifdyxf10),(lim),(．其中),(yxf称为被积函数，dyxf),(称为积分表达式，d称为面积元素，yx,称为积分变量，D称为积分区域．三、二重积分的性质性质1设，为常数，则DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([．性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D分为两个闭区域1D与2D，则21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf．这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．性质3如果闭区域D上，1),(yxf，为D的面积，则DDdd1．性质4设在D有),(),(yxgyxf，则DDdyxgdyxf),(),(．性质5设M、m分别是),(yxf在闭区域上的最大值和最小值，为D的面积，则有MdyxfmD),(．性质6（中值定理）设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(，使),(),(fdyxfD．例题选讲：例1不作计算估计dyxID)944(22的值，其中D是圆域：422yx．3解：D的面积为4)2(2．由于2594922yx，故001I36．例2估计二重积分DyxdI22coscos100的值，其中积分区域D为闭区域10yx（如右图）．解：D的面积为200)210(2．由于1021yx22coscos10011001，故100200I102200，即2I96.1．例3判断122)ln(yxrdxdyyx的符号（0r）．解当1yxr时，220yx2)(yx1．故0)ln(22yx．又当1yx时，0)ln(22yx，于是0dd)ln(122yxryxyx．例4积分dxdyyxD3221有怎样的符号，其中4:22yxD．解：把积分域分为321,,DDD，如右图：则原式＝1dd1322Dyxyx2dd1322Dyxyx3dd1322Dyxyx＜1ddDyx3dd133Dyx＝)34(23)21(30．23D32D11DyxoD10101010xyo11yoDrx1141yx31y2xo1D例5比较积分Ddyx2)(与Ddyx3)(的大小，其中D是圆域：2)1()2(22yx．解：积分域D的边界为圆周：2)1()2(22yx，它与x轴交于点)0,1(，与直线1yx相切，而域D位于直线的上方，故在D上1yx，从而32)()(yxyx32)()(yxyx．课堂练习1．将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处．2．试用二重积分表示极限ninjnjinen1122221lim．第二节二重积分的计算本节主要内容1利用直角坐标系计算二重积分2利用极坐标系计算二重积分讲解提纲：一、利用直角坐标系计算二重积分对X型区域：)}()(,|),{(21xyxbxayx，有)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf；对Y型区域：)}()(,|),{(21yxydycyx，有)()(21),(),(yydcDdxyxfdydxdyyxf．5注：（1）有的情况下积分区域既是X型区域又是Y型区域（如右图），不妨设为)}()(,|),{(21xyxbxayxD)}()(,),{(21yxydycyx，则baxxDdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(dcyydxyxfdy)()(21),(．为计算方便，可以选择积分次序，在必要时也可交换积分次序．（2）若积分区域较复杂，可将其分成若干个互不相交的X型区域或Y型区域．如右图中：321DDDD，则有DDDD123．（3）利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算．设函数),(yxf在闭区域D上连续，且D关于x轴对称，位于x轴上方的部分记为1D，则在D上若),(),(yxfyxf，则1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf；若),(),(yxfyxf，则0),(Ddxdyyxf．当区域关于y轴对称，函数关于变量x有奇偶性时有类似的结果．在利用这种方法时，要同时兼顾到被积函数),(yxf的奇偶性和积分区域D的对称性两方面．)(1xy)(2xyxybaDydcxo)(2yx)(1yx)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyyoxy1D2D3D6例题选讲：例１计算,Dxyd其中D是(1)由直线2,1xy及xy所围成的闭区域；(2)由抛物线xy2和直线2xy所围成的闭区域．解：（１）解法1．将D看作X–型区域，则211:xxyD．于是，I21dxxyyx1d21221d1xxyx2121321dxxx89．解法2．将D看作Y–型区域，则212:yxyD．于是，I21dy2dyxyx21221d2yyyx21321d2yyy89．（２）为计算简便，先对x后对y积分，则212:2yyxyD．于是，I21dy22dyyxyx2152212221d)2(21d2yyyyyyyyx21623461234421yyyy845．例2计算dyxyD221，其中D是直线1xxy、和1y所围成的闭区域．解：D既是X–型区域，又是Y–型区域，显然利用X–型区域做法简单，于是xy211xyo2xyDxy22xy214oyxyxyxO1117I11122d1xdyyxyx113112322)1(31d1)1(31dxxxxyx21)1(32103dxx．例3求,||2Ddxdyxy其中D为10,11yx．分析：当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号．2xy将D分为两部分1D和2D．解：I1)(2Ddxy2)(2Ddyx101154．例４求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积．解：设这两个圆柱面的方程分别为：222Ryx和222Rzx．利用立体关于坐标平面的对称性，只须求出它在第一卦限部分的体积1V，然后再乘以8就行了．由于RxxRyyxD0,0|),(22，于是，dxRVD221dxdyxRRxR002222dxyxRRxR002222dxxRR022)(332R从而，所求立体的体积为313168RVV．例５交换下列二次积分的积分次序（1）)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxax；解：axy2ayx22，22xaxy22yaax．故原式ay0d2222d),(yaaayxyxfay0dayaaxyxf222d),(aay2daayxyxf222d),(．oxy112xy1D2Da2a2aoxy8（2）22802222020),(),(xxdyyxfdxdyyxfdx．解：积分域由两部分组成：200:2211xxyD和22280:22xxyD．将21DDD视为Y–型区域，则2082:2yyxyD，于是，DyxyxfIdd),(20dy282d),(yyxyxf．例6证明：banxanbadyyfybndyyfyxdx)()(11)()(12．证明：xanbadyyfyxdx)()(2bynbadxyfyxdy)()(2babynyxndyyf])(11[)(1bandyyfybn)()(111．例7计算,)1ln(2Ddxdyyyx其中积分区域D由曲线xyxy3,42与1x所围成．解：令)1ln(),(2yyxyxf，21DDD（如图所示）．显然在1D上，),(),(yxfyxf；在2D上，),(),(yxfyxf．于是，1dd)1ln(2DyxyyxI2dd)1ln(2Dyxyyx0．二、利用极坐标系计算二重积分有些二重积分，其积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单，如圆形或扇形区域的边界等．此时，如果该积分的被积函数在极坐标系下也有比较简单的形式，则应考虑用极坐标来计算这个二重积分．822yx2D22yxo21D221xy212D1D24xyxy31x4oyxDxybbaayx9极坐标系下的面积微元为rdrdd，直角坐标与极坐标之间的转换关系为,cosrx,sinry从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式：DDrdrdrrfdxdyyxf)sin,cos(),(．若积分区域可表示成：}),()(|),{(21rr，则有)()(21)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD．特别地，若积分区域可以表示成：}20),(0|),{(rr，则20)(0)sin,cos(),(rdrrrfddxdyyxfD．例题选讲：例1化下列积分为极坐标形式的二次积分（1）2010),(xdyyxfdx；（2）22020),(yayadyyxfdx．解：略．例2计算,)(22Dyxde其中D是由圆)0(222aayx所围成的区域．解：在极坐标系下200:arD，故原式Drrredd220drerard02are02212)1(2ae．注：由于2