二次根式的概念和性质

二次根式1.二次根式的概念正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是它0；负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。试一试：说出下列各式的意义；116,81,0,,0.04;49观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数2、表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即a(a≥0)表示非负数a的算术平方根，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。它必须具备如下特点：1、根指数为2；2、被开方数必须是非负数。想一想：10、-5、3853、(-2)2a(a＜0﹚、a2+0.1、-a(a＜0﹚是不是二次根式？1.二次根式的概念注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式。如13,2是不是二次根式?1a思考：不是,它是二次根式的代数式.定义：像,,这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式。25002a3bs(0).aa形如的式子叫做二次根式2.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号4.a≥0,≥0a5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根(双重非负性)例1:判断，下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04.0,5.83,04.0,2a,a定义：式子叫做二次根式.)0(aa不要忽略其中a叫做被开方式。求下列二次根式中字母的取值范围：11aa2112233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。练习：x取何值时,下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0x为全体实数x0xxx1)4(4)3(23)5(x0x21)6(x0x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。12a1(7)12a3(8)||4xx例2：要使x-1有意义，字母x的取值必须满足什么条件？解：由x-1≥0，得x≥1。问：将式子x-1改为1-x，则字母x的取值必须满足什么条件呢？例3：要使x-2x-3有意义，字母x的取值必须满足什么条件？解：由x-2≥0，且x-3≠0,得x≥2且x≠3。想一想：一个正数的算术平方根是。零的算术平方根是。负数有没有算术平方根？正数0没有想一想：假如把题目改为：要使x-2x-1有意义，字母x的取值必须满足什么条件？x≥2题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1.当_____时，有意义。xx33.求下列二次根式中字母的取值范围x315x解得-5≤x＜3解：0x-305x①②说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）≤34aa44a有意义的条件是.2.+练习：求下列二次根式中字母的取值范围：(1)1a1(2)12a2(3)(3)ax5242125xxx2356xx1127（8）1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ的取值范围（１）3x（２）125x（３）1xx练习与反馈303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由2．（１）（２）当时，（３），则Ｘ的取值范围是＿＿＿（４）若，则Ｘ的取值范围是＿＿＿2(3)____1x2(1)____x2(2)2xx2(7)17xx31x2x7x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下?做一做:要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？1、x+32、2-5x3、1x4、a2+15、x-3+4-x6、x-1x-2非负数的算术平方根仍然是非负数。性质1：a≥0(a≥0)（双重非负性）引例：|a-1|+(b+2)2=0,则a=b=例4：已知a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,求2a-b+c的值。解：∵a+2≥0、|3b-9|≥0、(4-c)2≥0，又∵a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,∴a+2=0,3b-9=0,4-c=0。∴a=-2,b=3,c=4。∴2a-b+c=2×(-2)-3+4=-3。二次根式的性质（１）二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求x＋y的值130xy-++=解：∵≥０，≥０，1x-3y+130xy-++=＝０，＝０∴1x-3y+∴x＝１，y＝－３∴x＋y＝－２例求下列二次根式的值22(1)(3)(2)21(3)xxxp--+=-2(3)|3|pp-=-解：(1)∵30p-∴2(3)3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-当x＝时，x－１０3-221113xxx-+=-=+∴∴当x＝时，22113xx-+=+3-初中阶段的三个非负数：≥０a||a2a(a≥０)200,0||00,0||00,0......abababababab+=?=+=?=+=?=题型:二次根式的非负性的应用.1.已知：+=0,求x-y的值.yx24x2.已知x,y为实数,且+3(y-2)2=0,则x-y的值为()A.3B.-3C.1D.-11x解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。练习１.已知，求x、y的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a≥4２.已知，求a的值.4|3|aaa4343aaaa，即a-4=9，则a=13.,12的值求自然数为一个整数nnn≤12n=3，8，11，12二次根式的性质（２）试一试（3）计算:)0(,2aaa想一想等于什么?请举例验证.02aa=23225204.0==3520.04性质２：试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，232522504.0204.024利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。根据等式的定义，可得。)0(,2aaa)0(,2aaa我们已经得到:aa面积a5271232-32()(0)aaa2)72(2)312(2)5(2)32(算一算：02=；22=；（-2）2=；32=；（-3）2=。想一想：a2等于什么呢？性质3：当a≥0时，a2=；当a＜0时，a2=。也就是说：a2=。a-a|a|02233算一算：(1)（-9）2(2)(13)2(3)64(4)(x2+1)2二次根式的性质（３）由,可以得。02aaa02aaa利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：,25581.09.0a0-a2a(a0)(a=0)(a0)a归纳试一试1.计算下列各题:215(1)(2)2512.若,则x的取值范围为()xx1)1(2A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数3.与是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。2a√a（）23、二次根式具有哪些性质？1、什么叫做二次根式？形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。2、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根指数为2；（2）被开方数必须是非负数。课堂小结性质1：a≥0(a≥0)（双重非负性）性质2：(a)2=a(a≥0)性质3：当a≥0时，a2=a；当a＜0时，a2=-a。也就是说：a2=|a|。2aa(0)aa(0)aa例2计算：22)15()10()1(222])2(2[)2(2例3计算：|3254|)3253(22(0)()aaaaa2)0(aa)0(aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa书P7的课内练习补充：分别说出下列各式成立的a的取值范围：2(1)()aa2(2)()aa2(3)(2)2aa∵x0,∴4x＜0,例5:已知:x0,化简:216x2216x(4)4:xx解∴原式=-4x练一练:1296:22xxxx化简(-1x3)其中化简：(1)（2）(3)(a＜0,b＞0)(4)(a＞1)(5)(1＜x＜3)1024a22ba221aa2269)1(xxx2(0))(aaa2aa)0(aa)0(aa22(）与注意区别aa1.求式子有意义时X的取值范围。x51x－－＋105||011得5||5551xxxxxxx解:由题意得,二次根式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式0,0babaabbaba)0,0(ba1、2、加、减、乘、除知识结构--不要求，只需了解1、02aaa3、0aa2a)0(0aa2、题型：最简二次根式：１、被开方数不含分数；２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式。322751yx323练习1：把下列各式化为最简二次根式5524772xyyx63化简二次根式的方法：（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。（2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。练习：把下列各式化成最简二次根式22164)2(5.1)1(aa2623aa52202题型：同类二次根式：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。27832189m332322m32418832、、是同类二次根式下列哪些是同类二次根式题型：利用)0()(2aaa进行分解因式例：分解因式：2)1(2x2232)2(yx22)2(22xxxyxyxyx3232)3()2(22练习．在实数范围内分解因式（1）（2）1532x2242ba