北师大版九年级上册1.1菱形的性质与判定讲义

菱形的性质与判定讲义菱形要点：要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1、.菱形的四条边都相等；2、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3、菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.菱形的面积：（1）一种是平行四边形的面积公式：底×高（2）另一种是两条对角线乘积的一半要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.典型例题：例1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形B.对角线平分一组对角的平行四边形C.对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】A.对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；例2、菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________。【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，则菱形周长为16．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．例3、菱形的两条对角线长分别是14cm和20cm，则它的面积为__．【答案】140cm2【解析】∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S=12×14×20=140(cm2).例4、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，AO＝12AC，OB＝12BD．又∵AC＝8，BD＝10．∴AO＝12×8＝4，OB＝12×10＝5．在Rt△ABO中，222ABOAOB∴2224541AB，∴41AB．(2)由菱形的性质可知：118104022SACBD菱形ABCD．例5、菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．解：设该菱形为ABCD，对角线相交于O，AC＝8，BD＝6，由菱形性质知：AC与BD互相垂直平分，∴142AOAC，132BOBD，∴225ABAOOB．例6、菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()．A.21B.4C.1D.2【答案】C；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.例7、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．【答案】(1)证明见解析(2)245【解析】试题分析：（1）由平行四边形的对角线互相平分得到△AOB的两条边OA、OB的长度，则根据勾股定理的逆定理判定∠AOB=90°，即平行四边形的对角线互相垂直平分，故四边形ABCD是菱形．（2）根据菱形的不变性，用不同方法求面积：平行四边形的面积=菱形的面积，可求解.试题解析：（1）证明：∵在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，∴AO=AC=3，BO=BD=4，∵AB=5，且32+42=52，∴AO2+BO2=AB2，∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB=5，∵S△ABC=AC•BO=BC•AH，∴×6×4=×5×AH，解得：AH=．例8、在四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D.（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF,求证：四边形ABCD是菱形.【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．试题解析：（1）∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，在△ADC与△ABC中，{BDDCABACACAC＝＝＝，∴△ADC≌△ABC（AAS），∴AB=DC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠DCB，∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．课后习题：1．在下列说法中，菱形对角线不具有的性质是()A.对角线互相垂直；B.对角线所在的直线是对称轴；C.对角线相等；D.对角线互相平分．【解析】菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴，故选C.2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长为（）A.12B.16C.8D.4【解析】试题解析：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOB为直角三角形．∵OE=2，且点E为线段AB的中点，∴AB=2OE=4．C菱形ABCD=4AB=4×4=16．故选B．3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A.96cm2B.48cm2C.24cm2D.12cm2【答案】A如图，设3AOxcm，4BOxcm.∵菱形的周长为40cm，10ABcm.有勾股定理得，2223410xx，2x，22612ACAOcm，22816BDBOcm，21=1216=96cm2S菱形,故选A.4．菱形的一个内角为60°，较短的一条对角线长4，则菱形的周长为_____________。【答案】16【解析】菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，∴可得边长为4，则菱形周长为16．【点睛】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定的运用，难度不大，关键熟练掌握若菱形有一个内角为60°，则较短对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形．5．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=5，则点P到AD的距离为________________．【解析】∵AC是菱形ABCD的对角线，∴AC平分∠DAB,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得：P到AD的距离＝PE＝5.故答案是:5.6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是−1，则顶点A坐标是A．（2，1）B．（1，−2）C．（1，2）D．（2，-1）【答案】D．试题解析：连接AB交OC于D，如图所示：点C的坐标是（4，0），点A的纵坐标是1，∴OC=4，OA=1，∵四边形OACB是菱形，∴OC⊥AB，OD=12OC=2，OB=OA=1，∴点B的坐标是（2，-1）；故选D．考点：1.菱形的性质；2.坐标与图形性质．7、如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1∶2，周长是32cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积.【答案】(1).BO=43cm,BD=83cm(2)323cm2.【解析】（1）菱形ABCD的周长为32cm，∴菱形的边长为32÷4=8cm∵∠ABC∶∠BAD=1∶2，∠ABC+∠BAD=180°（菱形的邻角互补），∴∠ABC=60°，∠BCD=120°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=8cm，∵菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，BO=DO且AC⊥BD，∴BO=43cm，∴BD=83cm；（2）菱形的面积：12AC•BD=12×8×83=323（cm2）8、已知菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：（1）△ABE≌△ADF；（2）∠AEF=∠AFE．9、如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝，求□ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质得到四边形ABEF是平行四边形，然后再根据一组领边相等的平行四边形是菱形，证得结论；（2）过点A作AH⊥BC于点H．根据菱形的对角线求出边长，然后根据面积的不变性求出平行四边形的高，从而求解.试题解析：（1）证明：∵在□ABCD中，∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE．∴∠BAE＝∠AEB．∴AB＝BE．同理AB＝AF．∴AF＝BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE．∴四边形ABEF是菱形．（2）解法一：过点A作AH⊥BC于点H．∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．∵S菱形ABEF＝AEBF＝BEAH，∴AH＝×6×8÷5＝．∴S□ABCD＝BCAH＝(5＋)×＝36．解法二：∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝3，OB＝4．∴BE＝5．∵S菱形ABEF＝AEBF＝×6×8＝24，∵CE＝，BE＝5，∴S□ABCD＝S菱形ABEF＝×24＝36．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．