线性代数知识点总结第一章

线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aaaa称为11122122aaaa所确定的二阶行列式，并记作11122112aaaa，即1112112212212122.aaDaaaaaa结果为一个数。同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为由数表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式，记作111213212223313233aaaaaaaaa。即111213212223313233aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,aaaaaaaaaaaaaaaaaa二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222axaxbaxaxb设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab则1122221111122122babaDxaaDaa，1112122211122122.ababDxaaDaa对三元方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，设1112132122233132330aaaDaaaaaa，1121312222333233baaDbaabaa，1111322122331333abaDabaaba，1112132122231323aabDaabaab，则11DxD，22DxD，33DxD。（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn(或An)表示。（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,,1,nn前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,nn这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义定义：n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积1212nppnpaaa的代数和，其中p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa也可简记为detija，其中ija为行列式D的（i，j元）。根据定义，有121212111212122212121nnnntpppnppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaa说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是!n项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、1212nppnpaaa的符号为1t，t的符号等于排列12,,...nppp的逆序数5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDaaaaaaa推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于121nn乘以其副对角线上各元的乘积。即1212nn，1122121nnnn第四节：行列式的性质定义记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa，行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2互换行列式的两行ijrr或列ijcc，行列式变号。推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jkrk，等于用数k乘此行列式；推论1D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论2D中某一行（列）所有元素为零，则=0D。性质4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第五节行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM。代数余子式1ijijijAM记，叫做元素ija的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）(,)ij元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijDaA。定理n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA，(1,2,,)in1122jjjjnjnjDaAaAaA或，(1,2,,)jn。扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()nnnijnijnnnnxxxDxxxxxxxx展开定理推论n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即11220()isisinsnaAaAaAis11220()jtjtnjntaAaAaAjt或