最新实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解决实际问题的一般步骤1、审：读懂题目，审清题意，明确各量之间的关系2、设：设出未知数3、列：根据题意列关于未知数的方程4、解：求出未知数5、验：检验方程的解是否符合实际情况6、答：写出答案（特别提醒：（1）列一元二次方程解决实际问题与列一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题类似，可类比学习。（2）“审”与“验”不写，但很重要。）列一元二次方程解决实际问题的四点注意1、注意挖掘题目中隐含的等量关系2、注意文字语言与数学语言的转化，能把文字语言表述的条件用式子表示出来。3、注意列方程时各量之间的单位要统一4、注意对求出的结果进行检验，看其是否为原方程的解以及是否符合实际。例1一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定，若购买树苗不超过60棵，则每棵售价为120元：若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元。该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共购买了棵树苗，由题意得，[120-0.5(-60)=8800解得,当=220时，120-0.5×（220-60）=40100答：该校共购买了80棵树苗。2201802不合题意，舍去2208010011060805.012080，）（时，当知识点二列一元二次方程解决实际问题的常见题型1、传播问题：若ɑ表示传播之前的人数，表示每轮每人传播的人数，n表示传播的轮数，b表示最终的总人数，则ɑ（1+=b特别提醒：传播问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式，要注意传播的基数、每轮传播的人数以及轮数。）n例2有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。（1）求每轮传染中平均一人传染了几人？（2）如果不及时控制，第三轮将有多少人被传染？解：（1）设每轮传染中平均一人传染了人，则第二轮传染了人，由题意得，解得答：每轮传染中平均一人传染了7人。（2）64×7=448（人）答：第三轮将又有448人被感染。审题关键：解决本题关键是明确原来有几个人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几人，经过一轮传染后有几个人患流感以及经过两轮穿然后又有几人患流感。破题思路（1）设每轮传染中平均一人传染了人，则第二轮传染了人，两轮以后共有人患流感。（2）第三轮有人被传染。解决传播问题的关键点：传播问题需要找清：（1）每一轮传播的传播源的数量（2）每一个传播源每轮传播的数量）（16411）（（不符合题意，舍去），9721）（1)]1(1[64习题1某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被传染，经过两轮传染后就会有81台电脑被传染。（1）请你用学过的知识分析，每轮传染中平均一台电脑会传染几台？（2）若病毒得不到有效的控制，三轮传染后，被传染的电脑会不会超过700台？习题某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支。元旦当天，小明将一条短信发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，问小明给多少人发了这条短信？习题如果有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均每人传染的人数为多少？知识点二列一元二次方程解决实际问题的常见题型2、平均增长率（降低率）问题：设增长（降低）的基数为ɑ，每次的平均增长率（降低率）为，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率的公式：ɑ（1+=b，降低率公式：ɑ（1-=b特别提醒：解决平均增长率（降低率）问题的关键是准确理解公式中各个量的含义，分清基本量和变化后的量及变化（增长或降低）的次数）n）n例3随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价为200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率。解：设该种药品平均每次降价的百分率是，由题意得，解得答：该种药品平均每次降价的百分率是30%。总结：本题考查了一元二次方程的应用——降价的百分率问题，解题的关键是结合问题实际，掌握降价百分率问题中的等量关系，注意检验，舍去不符合题意的根。熟记增长率（降低率）公式，列方程不犯愁。9812002）（3.07.121（不合题意，舍去），习题为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，2016年投入教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同。（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元？习题已知某商品的售价为100元，连续两次降价后售价降低了36元，则为（）A、8B、20C、36D、18%习题青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用，市政府今年投资配置了720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车。预计2018年将投资配置2205辆公共自行车，请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率。习题随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2013年的200万元到2015年的392万元。求该购物网站平均每年销售额增长的百分率。习题市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为知识点二列一元二次方程解决实际问题的常见题型3、几何图形问题（1）面积公式：（2）体积公式：另外设计的计算还有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、不规则图形求面积等。特别提醒：当遇到不规则图形时，要想办法把不规则图形分割或补充成规则图形，找出各部分面积或周长之间的关系，再运用规则图形的面积或周长公式列出方程进行求解。已知图形的面积列一元二次方程，除了要准确掌握几何图形的面积、体积或周长公式及计算方法外，关键是能用未知数表示相关的长度，从而列方程求解。bɑS矩形ɑS2正方形bɑ21S三角形bhɑv长方体3ɑv正方体hR2v圆柱hR312v圆锥例4如图，某农场有一块长40m，宽为32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵，横各修一条等宽的小路，要使种植面积为1140，求小路的宽。解：方法1，设小路的宽为m，由题意得，解得答：小路的宽为2m。将小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的方法技巧：巧妙平移，转化图形通过平移将图形进行转化是列一元二次方程解决面积类应用题常用的方法，其核心思想是将不在一起的几个图形通过平移转化为一个规则图形，根据规则图形面积公式列一元二次方程求解。2m11403240））（（（不符合题意，舍去），70221习题如图，某小区规划在一块长为30m，宽为20m的矩形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草坪，要使每一块草坪的面积都为78，那么通道的宽应设计为多少米？ADBC2m习题如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200的矩形场地，求矩形的长和宽。2m习题如图，一农户要建一个矩形围栏，围栏的一边利用长12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形围栏的长、宽分别为多少时，围栏的面积为80？2m习题今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块矩形绿地，它的短边长为60m。若将短边长增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来的增加1600求扩大后的正方形绿地边长是多少米？2m习题用一条长为40m的绳子围成一个面积为64的矩形，设矩形的一边长为m，则可列方程为_________2m知识点二列一元二次方程解决实际问题的常见题型4、数字问题：（1）两位数=十位上的数字×10+个位上的数字（2）三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字特别提醒：数字问题中的数的表示要准确，不能忽略各数位上的数字之间的进制关系，同时要注意未知数所表示的数字与其他数位上的数字的关系。例5有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，把十位数字与个位数字调换位置后所得的两位数乘原来的两位数得1855，求原来的两位数。解：设原来的两位数的十位数字为，则个位上的数字是8-，由题意得，化简，得解得经检验，都符合题意。答：原来的两位数是35或53.过程释疑：1、求两位数时一般不直接设两位数，而是设两位数中的十位数字或个位数字为未知数。2、根据等量关系“原两位数×新两位数=1855”列方程。1855])8(10)][8(10[015825,3215,321方法技巧：数字问题不算难，巧妙设元是关键正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法：1、若十位、个位上的数字分别为ɑ，b，则这个两位数可表示为10ɑ+b，三位数等以此类推。2、三个连续整数的表示：一般设中间的一个数为，其余两个分别为3、三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示：（1）设中间的偶（奇）数为，则三个连续偶（奇）数可表示为（2）三个连续偶数可表示为三个连续的奇数可表示为列方程解应用题时，一般采用（1）中的方法。1,12,,222,2,2212,12,32习题若两个连续整数的积为56，则它们的和为（）A.11B.15C.-15D.若一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（）A.25B.36C25或36D.-25或-36有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。15知识点二列一元二次方程解决实际问题的常见题型5、商品销售利润问题：（1）（2）（3）售价=进价×（1+利润率）（4）总利润=每件利润×销售量=总销售额-总成本特别提醒：解答与销售有关的利润问题时，要能准确用未知数表示商品的销售量和销售利润，此外，正确理解商品的销售量和销售利润之间的关系是解答此类问题的关键。进价售价利润-进价进价销售进价利润利润率例6某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获利6080元的利润，应将销售单价定为多少元？解：设每件降价元，则每件销售价为元，每星期销量为件，由题意得，解得因为在顾客得实惠的前提下进行降价，所以所以定价为答：应将销售单价定为56元。审题关键：解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系：每件利润×每星期销售量=6080，列方程解决问题破题思路：因为商品的销售量与降价数额有关，所以本题需要间接地设未知数，设每件降价为元，则每件售价为元，每件利润为元，每星期销量为件，根据题意列方程，此方程有两个解，因为是在顾客得实惠的前提下进行降价，所以取较大的未知数的值，（降价越多，顾客所得的实惠越多）。)60()20300(6080)20300)(4060(4,1214元5660)60(）（4060)20300(此类题型常用的等量关系：（1）利润=单件利润×售出件数（2）售出件数=原来售出件数+降价多卖出件数（3）单件的利润=单件售价-单件成本习题水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售。（1）若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销量