§1-从平面向量到空间向量

§1从平面向量到空间向量栏目导航学习目标要求课堂互动探究问题情境导学课堂归纳总结1.了解向量由平面到空间的过程.2.理解空间向量的概念.3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念.【实例】①如图所示,已知平面向量a、b②如图所示,已知向量a与直线l上两点A,B,③如图所示,已知平面α与直线l.一、空间向量的概念及表示1:(1)平面向量是怎样定义的?(在平面内,我们把具有大小和方向的量叫作平面向量)(2)平面向量如何表示?(用有向线段表示,有向线段的长度代表向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向)(3)平面向量的长度叫作什么?如何表示?(平面向量的长度叫作向量的模,如实例图中向量a、b的模可表示为|a|、|b|)1:(1)向量的概念向量是既有大小又有方向的量.如果我们把问题的研究范围限定在同一个平面上,称之为平面向量;如果问题的研究范围扩大到空间中,称之为空间向量.(2)空间向量的表示方法空间向量有两种表示法:一种用有向线段AB表示,A叫作向量的起点,B叫作向量的终点;一种用a,b,c表示,也可用,,abc表示.(3)自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关,我们称之为自由向量.(4)向量的长度或模空间向量的大小叫作向量的长度或模,用|AB|或|a|表示.(5)空间向量的有关概念①零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0.②相等向量:方向相同且模相等的向量叫相等向量.③相反向量:方向相反且模相等的向量叫相反向量.1:(1)向量与有向线段有什么区别与联系?(向量是借助于有向线段表示的,向量只要具备大小与方向即可,而有向线段的三要素是起点、方向、大小)(2)为什么空间向量不能比较大小?(因为向量有两个要素:大小和方向,向量的模可以比较大小,但方向不能比较大小,故向量也不能比较大小,应注意a=b⇒|a|=|b|,但反之不成立)(3)零向量与数0有什么区别?(0是向量,而0是数量,零向量的方向是任意的)二、空间向量的夹角2:平面向量的夹角是怎样定义的?如何表示?它的范围是怎样的?(过平面内任意一点O作向量a、b的相等向量OA、OB,则∠AOB叫作向量a、b的夹角,记为a,b,规定0≤a,b≤π)2:如图所示,过空间任意一点O作向量a,b的相等向量OA和OB,则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作a,b,规定0≤a,b≤π.当a,b=π2时,向量a与b垂直,记作a⊥b.当a,b=0或π时,向量a与b平行,记作a∥b.三、空间向量与直线3:向量a的基线与直线l平行时,向量a与向量AB什么关系?(a∥AB)3:(1)l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称AB为直线l的方向向量.显然,与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量.直线的方向向量平行于该直线.(2)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.四、空间向量与平面4:上述实例③中,若l⊥平面α,则向量n与平面α满足什么关系?(n⊥平面α)4:(1)如果直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量.所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量.因此,平面的法向量不唯一,但它们都是平行的,平面的法向量垂直于该平面.(2)给定空间中任意一点A和非零向量a,可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.空间向量的概念【例1】如图所示,在正六棱柱ABCDEFA'B'C'D'E'F'中,(1)与AB相等的向量有哪些?(2)BD与BD,AE,AE相等吗?(3)与AD平行的向量有多少个?名师导引:根据正六棱柱的结构特征,分析各线段的相互关系,从而得到向量之间的关系.解:(1)ED,AB,ED.(2)BD=BD,BD=AE,BD=AE.(3)11个.以几何体为载体给出向量时,要注意结合几何体的结构特征来分析向量之间的关系.直线的方向向量与平面的法向量【例2】如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)分别给出直线AA1,BD的一个方向向量;(2)分别给出平面ADD1A1,平面BB1D1D的一个法向量.解:(1)直线AA1的一个方向向量可为1BB、1AA、1CC、1DD、1AA、1BB、1CC、1DD中的任一个,直线BD的一个方向向量可为11BD、BD、DB、11DB中的任一个.(2)平面ADD1A1的一个法向量可为AB、DC、11AB、11DC、BA、CD、11BA、11CD中的任一个.平面BB1D1D的一个法向量可为AC,CA,11AC、11CA中的任一个.找直线的方向向量要注意几何体中的平行关系;找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系,特别是线面垂直关系.求向量的夹角【例3】在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,求:(1)EF,11AC,11AC,FE;(2)AB,BC,11AB,1AD.解:(1)∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴EF∥11AC,且方向相同,∴EF,11AC=0°;11AC∥FE,且方向相反,∴11AC,FE=180°.(2)∵在正方形ABCD中,AB⊥BC,∴AB,BC=90°;∵A1B1⊥平面A1ADD1,又AD1平面A1ADD1,∴A1B1⊥AD1,∴11AB,1AD=90°.本节涉及的求向量夹角问题,都是把向量移到同一平面内,也就是把夹角表示出来,然后利用结论“共线或平行,夹角为0°或180°;垂直,夹角为90°”解决.变式训练31:如图所示,在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,O,O1分别是对角线AC,A1C1的中点,则AO,OC=,AO,11OC=,1OO,11AB=.解析:由题意得AO,OC方向相同,是在同一条直线AC上,故AO,OC=0°;11OC可平移到直线AC上,与OC重合,故AO,11OC=0°;由题意知OO1是正四棱台ABCDA1B1C1D1的高,故OO1⊥平面A1B1C1D1,所以OO1⊥A1B1,故1OO,11AB=90°.答案:0°0°90°【例1】(1)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是平行四边形,设平面SAD∩平面SBC=l,如图(1)所示,求证:向量BC是l的一个方向向量.(2)如图(2)所示,三棱锥SABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC,M为SB的中点.求证:AM是平面SBC的法向量.名师导引:(1)只需证明BC∥l即可.(2)只需证明AM⊥平面SBC.证明:(1)∵BC∥AD,BC⊈平面SAD,∴BC∥平面SAD.又∵平面SBC∩平面SAD=l,∴BC∥l.∴BC是l的方向向量.(2)∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.又AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∵AM平面SAB,∴BC⊥AM∵SA=AB,M为SB的中点,∴AM⊥SB又BC∩SB=B,∴AM⊥平面SBC,所以AM是平面SBC的法向量.【例2】如图所示在正方体ABCDA'B'C'D'中,求:(1)AB,CC,BC,'AD,AB,'DC;(2)AA,BD,AC,AB.名师导引:将两向量平行移动到同一平面内再结合向量的方向求解.解:(1)∵CC'∥BB',AB⊥BB',∴AB⊥CC',∴AB,CC=90°.∵A'D'∥B'C'∥BC,∴BC,'AD=0°.∵D'C'∥A'B',△AA'B'是等腰直角三角形.∴AB,'DC=45°.(2)∵AA'⊥平面ABCD,∴AA'⊥BD,∴AA,BD=90°.连B'C(图略),则△AB'C是正三角形,∴AC,AB=60°.求两个向量的夹角和求两条异面直线所成的角比较相似,就是采取平移的方法找到一个与另一向量相交的共线向量,进而转化为同一平面内的两条相交直线所成的角进行求解,在平移的过程中,要充分利用已知图形的特点,寻找线线平行,找出所求的角,这一过程可简单总结为①找角,②在三角形中求角.通过本节课的学习,你有哪些收获?1.知道空间向量的概念及表示;2.学习了空间向量与直线的联系;3.掌握了直线的方向向量、平面法向量及向量夹角的求法.点击进入课后作业