2011年高考数学(理科)试卷解析[全国大纲卷]

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）试题解析版一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．B8．D9．A10．D11.D12.A1.复数1zi，z为z的共轭复数，则1zzz（A）2i（B）i（C）i（D）2i【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1zizzziiii2.函数2(0)yxx≥的反函数为（A）2()4xyxR（B）2(0)4xyx≥（C）24yx()xR（D）24(0)yxx≥【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数2(0)yxx≥中，0y且反解x得24yx，所以2(0)yxx≥的反函数为2(0)4xyx.3.下面四个条件中，使ab＞成立的充分而不必要的条件是（A）1ab＞（B）1ab＞（C）22ab＞（D）33ab【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab＞，而由ab推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,abab推不出P，逐项验证可选A。4.解：设nS为等差数列na的前n项和，若11a，公差2d，224kkSS，则k（A）8（B）7（C）6（D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用221kkkkSSaa直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】2kkSS=21kkaa=11(21)(11)akdakd=12(21)akd21(21)244245kkk故选D。5.设函数()cos(0)fxx＞，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()yfx的图像向右平移3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3是此函数周期的整数倍。【精讲精析】()cos[()]cos33fxxx即cos()cos3xx22()663kkZkz则1k时min6故选C6.已知直二面角l，点,AACl,C为垂足，,,BBDlD为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A)23(B)33(C)63(D)1【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明AC平面，进而平面平面ABC,所以过D作DEBC于E，则DE就是要求的距离。【精讲精析】选C.如图，作DEBC于E，由l为直二面角，ACl得AC平面，进而ACDE，又,BCDEBCACC，于是DE平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。在RtBCD中，利用等面积法得12633BDDCDEBC7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有144C种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有246C种。故共有赠送方法4+6=10种，故选B8.曲线y=2xe+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A)13(B)12(C)23(D)1【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。【精讲精析】202,|2xryey切线方程是：22yx,232223xyxyxy得即得1211233S故选A。9.设()fx是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()fx=2(1)xx，则5()2f=(A)-12(B)1 4(C)14(D)12【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52转化到区间[0,1]上进行求值。【精讲精析】先利用周期性，再利用奇偶性得:5511()(2)()()2222ffff1112()(1)222故选A10.已知抛物线C：24yx的焦点为F，直线24yx与C交于A，B两点．则cosAFB=(A)45(B)35(C)35(D)45【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】联立2424yxyx，消y得2540xx，解得1,4xx.不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求35,5,2ABAFBF，利用余弦定理2224cos25AFBFABAFBAFBF.11.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为(A)7(B)9(C)11(D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】作示意图如，由圆M的面积为4，易得222,23MAOMOAMA.23OM，在RtONM中，030OMN，213,3132ONOMRtONB2在中,NB=4，故选D12.设向量,,abc满足1||||1,,,602ababacbc，则||c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，||c最大.【精讲精析】选A.如图，构造,,,120,60,ABaADbACcBADBCD，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，||c最大，最大值为2.二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．014．4315．616．2313.(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为:.【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意rnrnnCC.【精讲精析】212020(1)()(1)rrrrrrrTcxcx，令12r得r=2，令2r=9得18r，所以x的系数为2222020(1)cc，91822020xcc18的系数为(-1)故x的系数与9x的系数之差为220c-220c=014.已知a∈(2，)，sinα=55，则tan2α=【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。【精讲精析】43.由a∈(2，)，sinα=55得25sin1cos,tan5cos2,22tan4tan21tan3.15.已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=.【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AFMFAFAFaAFMF,故2||6AF16.己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.【精讲精析】23.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为90CAP，所以FCA为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。223tan32FCFCACA三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.(本小题满分l0分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=2b，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到sincosAC.即可求解。【精讲精析】由90AC，得A为钝角且sincosAC，利用正弦定理，2acb可变形为sinsin2sinACB，即有sinsincossin2sin(45)2sinACCCCB，又A、B、C是ABC的内角，故45CB或(45)180CB(舍去)所以(90)(45)180ABCCCC。所以15C.（本小题满分10分）18.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：(10.5)0.3p，解得0.6p。（I）设所求概率为P1，则11(10.5)(10.6)0.8P.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。（II）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2。(100,0.2)XB，1000.220EX所以X的期望是20人。19.（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD中，//ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD.（Ⅰ）证明：SDSAB平面;（Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，//,ABCDBCCD，易算得：5ADBD，又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，所以2225SDSAAD,2225SDSBBD于是SDSA,SDSB,所以SDSAB平面.（II）（向量法）过D做DzABCD平面，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),13(,0,)22S可计算平面SBC的一个法向量是(0,3,2),(0,2,0)nAB||2321|cos,|7||||27ABnABnABn.所以AB与平面SBC所成角为21arcsin7（几何法）设点A到平面SBC的距离为d，因为SDSAB平面，所以SDAB,从而SDCD,因而可以算得：2SC，又2SBBC，故72SBCS又因为//CDSAB平面,所以点C到平面SAB的距离为1SD另外，显然23234SBAS，所以17131323ASBCCSABVdV四棱锥四棱锥得：2217d设AB与平面SBC所成的角为，则221217sin27，即AB与平面SBC所成的角为21sin7arc（显然是锐角）20.（本小题满分12分）设数列na满足10a且1111.11nnaa（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设111,,1.nnnn