一维非稳态导热问题的数值解

计算传热学程序报告题目：一维非稳态导热问题的数值解姓名：学号：学院：能源与动力工程学院专业：工程热物理日期：2014年5月25日一维非稳态导热问题数值解求解下列热传导问题：1,10),(,1),0(0)0,()0(01T22LtLTtTxTLxtTx1.方程离散化对方程进行控制体积分得到：dxdttTdxdtxTtttewtttew122ewtttwetttdxTTdtxTxT)(1])()([非稳态项：选取T随x阶梯式变化，有xTTdxTTtpttpewttt)()(扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有txTxTdtxTxTtwtewettt])()[(])()[(进一步取T随x呈分段线性变化，有ePEexTTxT)()(，wWPwxTTxT)()(整理可以得到总的离散方程为：221xTTTtTTtWtPtEtPttE2.计算空间和时间步长取空间步长为：h=L/N网格Fourier数为：220xtxtF（小于0.5时稳定）时间步长为：20hFn3.建立温度矩阵与边界条件T=ones(N+1,M+1)T(:,1)=Ti(初始条件温度都为0）T(1,:)=To(边界条件x=0处温度为1）T(N+1,:)=Te(边界条件x=L处温度为0）4.差分法求解温度由离散方程可得到：tPtWtPtEttETTTTFT)2(0转化为相应的温度矩阵形式：),()],(2),1(),1([)1,(0kmTkmTkmTkmTFkmT5.输入界面考虑到方程的变量，采用inputdlg函数设置5个输入变量，对这5个变量设置了默认值，如图1所示。在计算中可以改变不同的数值，得到不同的结果，特别注意稳定条件的临界值是0.5。根据设置的默认值，得到的计算结果如图2所示。图1matlab变量输入界面图2默认值的计算结果6.结果分析根据上面的分析，给出了程序的输入界面，以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值，得到需要的分析结果，总结出了下面4点结论：（1）取F0=0.48，得到一维非稳态导热结果如下图所示图2F0=0.48时一维非稳态导热从图中可以看出，对于长度L=1的细杆，初始时刻t=0时温度为0，边界条件x=0时，T=1,边界条件x=1时，T=0。随着时间的增加，温度从x=0通过导热的形式传递到x=1，不同时刻不同位置杆的温度都不同，并且随着时间的增加，杆的温度也逐渐增加。（2）取F0=0.48，可以得到不同位置的温度响应曲线，如下图所示图3F0=0.48时不同x位置处的温度响应图中红色曲线代表x=0.1位置的温度瞬态响应，黑色曲线代表x=0.2位置的温度瞬态响应，蓝色曲线代表x=0.4位置的温度瞬态响应。从图中可以看出，随着x的增加，曲线与x轴的交点值越大，温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着x的增加，温度响应曲线的变化速率越慢，最终的达到的温度也越低。（3）取F0=0.25，得到不同位置的温度响应曲线如下图所示图4F0=0.25时不同x位置处的温度响应图中三条曲线分别是x=0.1，x=0.2，x=0.4位置的温度瞬态响应。与图3的F0=0.48进行对比，两种情况下的F0值不同，F0值越大表明热扩散系数的值越大。从图中可以看出热扩散系数对于导热的影响，F0=0.25时，与F0=0.48相比较，各位置开始响应时所需的时间较长，而且各位置响应曲线的变化速率较小，最终的达到的温度也较低，说明了热扩散系数越小，热传导越慢，传递效率越低。（4）取F0=0.51，得到非稳定的数值解如图所示图5F0=0.51时一维非稳态导热图6F0=0.51时不同x位置处的温度响应从图中可以看出，对于显示格式的离散方程，并不是所有的F0值都能得到有意义的解，必须要求F00.5时才能得到稳定的数值解，当F00.5时，会出现物理上不真实的解。附件：（matlab程序）functionheat_conduction()%一维齐次热传导方程%设置输入界面options={'空间杆长L','空间点数N','时间点数M','扩散系数a','稳定条件的值Fo(临界值0.5)',};topic='一维非稳态导热';%标题栏显示lines=1;%输入行为1行def={'1','100','1000','1','0.48'};%默认值输入f=inputdlg(options,topic,lines,def);%输入框设置L=eval(f{1});%设置输入值N=eval(f{2});M=eval(f{3});a=eval(f{4});Fo=eval(f{5});%Fo的值必须小于0.5，小于0.5波动%计算空间步长与时间步长h=L/N;%空间步长x1=0:h:L;x=x1';n=Fo*h^2/a;%时间步长tm=n*M;%传导总时间t1=0:n:tm;t=t1';%计算初始条件与边界条件Ti=x.*0;%初始条件To=1+t.*0;%x=0的边界条件Te=t.*0;%x=L的边界条件%建立温度矩阵TT=ones(N+1,M+1);T(:,1)=Ti;%第一列为初始条件T(1,:)=To;%第一行为x=0边界条件T(N+1,:)=Te;%最后一行为x=L边界条件%利用差分法求解温度矩阵Tfork=1:Mm=2;whilem=N;T(m,k+1)=Fo*(T(m+1,k)+T(m-1,k)-2*T(m,k))+T(m,k);m=m+1;endend%将时间空间的一维坐标转化为二维坐标[Y,X]=meshgrid(t1,x);%根据温度矩阵T绘图subplot(2,2,1);mesh(X,Y,T);%三维图绘制view([1,-1,1]);%调整视图角度title('非稳态导热');%图像名称xlabel('长度x');%x轴名称ylabel('时间t');%y轴名称zlabel('温度T');%z轴名称subplot(2,2,2);A=T(11,:);%取矩阵第11列的值plot(A,'r');%二维曲线绘制legend('A=0.1');%显示函数名称title('x=0.1瞬态响应');xlabel('时间t');ylabel('温度T');axis([0100001]);%坐标轴数值范围subplot(2,2,3);B=T(21,:);%取矩阵第21列plot(B,'k');legend('B=0.2');title('x=0.2瞬态响应');xlabel('时间t');ylabel('温度T');axis([0100001]);subplot(2,2,4);C=T(41,:);%取矩阵第41列plot(A,'r');holdon;%多条曲线绘制plot(B,'k');plot(C);holdoff;title('瞬态响应');xlabel('时间t');ylabel('温度T');axis([0100001]);legend('A=0.1','B=0.2','C=0.4');