高数中的重要定理与公式及其证明(二)

在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营01高数中的重要定理与公式及其证明（二）考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，在复习的初期，先掌握这些证明过程是必要的。6）定积分比较定理如果在区间[,]ab上恒有()0fx，则有()0bafxdx推论：ⅰ如果在区间[,]ab上恒有()()fxgx，则有()()bbaafxdxgxdx；ⅱ设Mm和是函数()fx在区间[,]ab上的最大值与最小值，则有：()()()bambafxdxMba【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。7）定积分中值定理设函数()fx在区间[,]ab上连续，则在积分区间[,]ab上至少存在一点使得下式成立：()()()bafxdxfba【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营028）变上限积分求导定理如果函数()fx在区间[,]ab上连续，则积分上限的函数()()xaxfxdx在[,]ab上可导，并且它的导数是'()()(),xadxfxdxfxaxbdx设函数()()()()uxvxFxftdt，则有'''()(())()(())()Fxfuxuxfvxvx。【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。9）牛顿-莱布尼兹公式如果函数()fx在区间[,]ab上连续，则有()()()bafxdxFbFa，其中()Fx是()fx的原函数。【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。10）费马引理：设函数()fx在点0x的某领域0()Ux内有定义，并且在0x处可导，如果对任意的0()xUx，有00()()()()fxfxfxfx或，那么'0()0fx【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。11）罗尔定理：如果函数()fx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导（3）在区间端点处的函数值相等，即()()fafb那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得'()0f。【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过在这里，没有考不上的研究生。跨考魔鬼集训营03程见教材。12）拉格朗日中值定理：如果函数()fx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得'()()()fbfafba。【点评】：同上。13）柯西中值定理：如果函数()fx和()gx满足（1）在闭区间[,]ab上连续；（2）在开区间(,)ab上可导那么在(,)ab内至少存在一点()ab，使得''()()()()()()ffbfaggbga。【点评】：同上。