北师大版初三二次函数知识点与练习试题

可编辑版Word完美格式二次函数知识回顾一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．例1（基础）.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A．（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）习题精练1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ax与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）2、若二次函数52bxxy配方后为kxy2)2(则b、k的值分别为（）A.05B.0.1C.-4.5D.-4.13、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．B．C．D．22yx22yx212yx212yx可编辑版Word完美格式4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．223yxxB．223yxxC．223yxxD．223yxx5.若2yaxbxc，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x1012ax12axbxc83Ａ．243yxxＢ．234yxxＣ．233yxxＤ．248yxx6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（）A）21()32yx（B）213()12yx（图（1）图（2）可编辑版Word完美格式C）218()32yx（D）218()32yx二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2yax的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．可编辑版Word完美格式2.2yaxc的性质：上加下减。3.2yaxh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小可编辑版Word完美格式4.2yaxhk的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．可编辑版Word完美格式2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）⑵cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）考点1.二次函数的平移小试牛刀例2已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx与二次函数22yxxc的图像交于点(1)Am，．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2可编辑版Word完美格式例3把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A.y=3（x+2）2B.y=3（x-2）2C.y=3x2+2D.y=3x2-2专题练习一1.对于抛物线y=13x2+103x163，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c；②0abc；③0abc；④230ab；⑤40cb，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式图221012yx13x可编辑版Word完美格式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二可编辑版Word完美格式1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A，，(23)B，，(10)C，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．图2可编辑版Word完美格式四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.可编辑版Word完美格式注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.专项练习三1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．3.已知函数的图象如图3所示，那么关于的方程的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．2yaxbxcx220axbxcyxO13图2图3xy03可编辑版Word完美格式（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛