整式的乘除与因式分解培优练习

1整式的乘除与因式分解培优练习一、逆用幂的运算性质4．已知：2,3nmxx，求nmx23、nmx23的值。5．已知：am2，bn32，则nm1032=________。二、式子变形求值3．已知0132xx，求221xx的值。4．已知：212yxxx，则xyyx222=.5．24(21)(21)(21)的结果为.7．已知：20072008xa，20082008xb，20092008xc，求acbcabcba222的值。8．若210,nn则3222008_______.nn9．已知：0106222yyxx，则x_________，y_________。10．已知0258622baba，则代数式baab的值是_______________。三、式子变形判断三角形的形状1．已知：a、b、c是三角形的三边，且满足0222acbcabcba，则该三角形的形状是_________________________.2．若三角形的三边长分别为a、b、c，满足03222bcbcaba，则这个三角形是___________________。3．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足关系式222222bacabca，试判断△ABC的形状。四、简答题6．为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价．该市在五个区内选取了近10万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费：第一等级是每月每户用水不超过a吨，水价是每吨m元；第二等级是月用水量超过a吨，但不超过30吨的部分，水价每吨2m元；第三等级是月用水量超过30吨，超过30吨的部分水价为每吨3m元．现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元?27．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2-ab-bc-ac=21[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]．学科王该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．(1)请你检验这个等式的正确性；学科王(2)若a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出a2+b2+c2-ab-bc-ac的值吗?8.（4分）（1）阅读下列解答过程（1）问：求y2+4y+8的最小值.（2）模仿（1）的解答过程，求m2+m+4的最小值(3)求24127xx的最大值9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如4=22-0，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数。（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？（3）由（2）知，神秘数可表示成4（2k+1），因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数。另一方面，设两个连续奇数为2n+1，2n-1，则即两个连续奇数的平方差是8的倍数，因此两个连续奇数的平方差不是神秘数。因式分解的方法一、用提公因式法把多项式进行因式分解1.在多项式恒等变形中的应用3例：不解方程组23532xyxy，求代数式()()()22332xyxyxxy的值。2.在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，323222nnnn一定是5的倍数。题型展示：例1.计算：200020012001200120002000精析与解答：设2000a，则20011a200020012001200120002000aaaaaaaaaaaa[()()]()()()()()()1000011110000110001110001110001100010说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例3.设x为整数，试判断1052xxx()是质数还是合数，请说明理由。解：1052xxx()52225()()()()xxxxxxx25，都是大于1的自然数()()xx25是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。4【实战模拟】1.证明：812797913能被45整除。2.化简：111121995xxxxxxx()()()…，且当x0时，求原式的值。二、运用公式法进行因式分解1.在几何题中的应用。例：已知abc、、是ABC的三条边，且满足abcabbcac2220，试判断ABC的形状。2.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。题型展示：例1.已知：ambmcm121122123，，，求aabbaccbc222222的值。例2.已知abcabc00333，，求证：abc5550例3.若xyxxyy3322279，，求xy22的值。解：xyxyxxyy332227()()5且xxyy229)1(92322yxyxyx，又xxyy2292()两式相减得xy0所以xy229说明：按常规需求出xy，的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。【实战模拟】3.若abc，，是三角形的三条边，求证：abcbc222204.已知：210，求2001的值。5.已知abc，，是不全相等的实数，且abcabcabc03333，，试求（1）abc的值；（2）abcbcacab()()()111111的值。三、用分组分解法进行因式分解例1.分解因式xxxxx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把xx54，xxx321和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。例2.在几何学中的应用已知三条线段长分别为a、b、c，且满足abacbac，22226例3.在方程中的应用求方程xyxy的整数解题型展示：例1.已知：abcdacbd2222110，，且，求ab+cd的值。解：ab+cd=abcd11abcdcdababcabdcdacdbabccdbabdcdabcacbdadbdacacbdbcad()()()()()()()()222222222222acbd00原式说明：首先要充分利用已知条件abcd222211，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。例2.分解因式：xx323分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着xxx1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x1这个因式。解一（拆项）：xxxxx3332333223112113222()()()()()xxxxxxxx解二（添项）：xxxxxxxxxxxxx332222232311313()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1.已知：xyzAxyzxyzxyxzA2223330，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A的7表达式。2.证明：()()()()()ababababab22111222四、用十字相乘法把二次三项式分解因式例.证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则810322xxyy是49的倍数。中考点拨例1.把22224954yyxyx分解因式的结果是________________。题型展示例1.若xymxy2256能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.1D.2解：xymxyxyxymxy225656-6可分解成23或32，因此，存在两种情况：（1）x+y-2（2）x+y-3x-y3x-y2由（1）可得：m1，由（1）可得：m1故选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足acbacb24。求证：abbc8证明：acbacb24acbacbaaccbcacabbacbacbacbacbabbc2222222402444404402020说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若xxxa3257有一因式x1。求a，并将原式因式分解。解：xxxa3257有一因式x1∴当x10，即x1时，xxxa32570a3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3232222257344331413114311313说明：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现x1，从而分解彻底。【实战模拟】1.分解因式：（1）abab221639（2）15742122xxyynnnn（3）xxxx22232237292.在多项式xxxxxxxxx123232123222，，，，，，哪些是多项式xxxx242221029的因式？3.已知多项式21332xxxk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3529422xxyyxy5.已知：xyxy05312..，，求312922xxyy的值。《分式》提高测试一判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？x取什么值时，分式无意义（本题15分，每小题5分）：１．)1)(3(2xxx；2．2522xx；3．2231xx．二化简(本题40分，每小题8分)：1．xxxxxxx36)3(446222；2．)2()1()()(343222aababba；103．3213213232yxyxxyxy；；4．)252(423xxxx；5．)11111)(1(2xxx.三解下列分式方程（本题20分，每小题10分）：1．22221321211yyyyy；2．143)1(2111x.四(本题10分)1.车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，问两组每小时各加工多少零件？2.甲、乙两人各走14千米，甲比乙早半小时走完全程．已知甲与乙速度的比为8∶7，求两人的速度各是多少？