2018秋人教A版高中数学选修2-1习题：3.2.1利用向量证明空间中的平行关系

试卷第1页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2018秋人教A版高中数学选修2-1习题：3.2.1利用向量证明空间中的平行关系试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=23𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,则点C的坐标为()A．(72,−12,52)B．(38,−3,2)C．(73,−1,−1)D．(52,−72,32)2．已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是()A．长方形B．正方形C．梯形D．菱形3．在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,平面𝐴𝐶𝐵1的一个法向量为()A．𝐵𝐷1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B．𝐷𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑C．𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D．𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑4．如图,在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则试卷第2页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………①𝐴1𝑀∥𝐷1𝑃;②𝐴1𝑀∥𝐵1𝑄;③𝐴1𝑀∥平面𝐷𝐶𝐶1𝐷1;④A1M∥平面𝐷1𝑃𝑄𝐵1.以上正确的个数为()A．1B．2C．3D．45．若𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=λ𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑+μ𝐶𝐸⃑⃑⃑⃑⃑,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内.6．若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A．(bc,ac,ab)B．(ac,ab,bc)C．(bc,ab,ac)D．(ab,ac,bc7．在如图所示的坐标系中,𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1为正方体,给出下列结论:①直线𝐷𝐷1的一个方向向量为(0,0,1);②直线𝐵𝐶1的一个方向向量为(0,1,1);③平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1的一个法向量为(0,1,0);④平面𝐵𝐶1𝐷的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．48．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．－4B．1C．10D．11试卷第3页，总3页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9．已知直线𝑙的方向向量𝑣=(2,1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,-2,z)两点,则y=________,z=_________.10．已知𝑎=(2,-1,3),𝑏⃑=(-1,4,-2),𝑐=(7,7,λ),若𝑎,𝑏⃑,𝑐共面,则实数λ=_________.11．平面α的法向量𝑢⃑=(x,1,-2),平面β的法向量𝑣=(-1,𝑦,12),已知α∥β,则x+y=______.评卷人得分三、解答题12．在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,求平面𝐴𝐶𝐷1的一个法向量𝑛⃑.13．已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB．14．已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC．15．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.16．如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.求证:(1)MN∥PAD;(2)平面QMN∥平面PAD;本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总9页参考答案1．C【解析】【分析】设出C点的坐标，根据A，B，C三个点的坐标，写出两个向量的坐标，根据两个向量之间的关系，得到关于x，y，z的关系式，在每一个关系式中解出变量的结果，得到要求的点的坐标．【详解】设C的坐标是（x，y，z）∵A(3,3,-5),B(2,-3,1)，∴𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（−1，−6，6）,𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=（𝑥−3，𝑦−3，𝑧+5）∵𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=23𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，∴（𝑥−3，𝑦−3，𝑧+5）=23（−1，−6，6）,由此解得𝑥=73,𝑦=−1,𝑧=−1,，故选C.【点睛】本题是一个向量之间关系的题目，要使的向量相等，只要向量的横标和纵标分别相等；要使的向量平行，只要满足平行的充要条件，列出关于x的一元二次方程，解方程即可．2．D【解析】【分析】作出空间四边形ABCD，连接AC，BD，连接四边中点得到一个四边形，证明它是一个菱形．【详解】因为𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝐵𝑄⃑⃑⃑⃑⃑−𝐵𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑−12𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑.同理𝑆𝑅⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑,所以𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑=𝑆𝑅⃑⃑⃑⃑⃑,所以四边形PQRS为平行四边形.又𝑃𝑆⃑⃑⃑⃑=𝐴𝑆⃑⃑⃑⃑⃑−𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑−12𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=12𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑,所以|𝑃𝑆⃑⃑⃑⃑|=12|𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑|,即PS=12BD.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总9页又|𝑃𝑄⃑⃑⃑⃑⃑|=12|𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑|,故PQ=12AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查平面向量的应用问题，是基础题．3．A【解析】【分析】由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC．即可得出平面ACB1的一个法向量．【详解】如图所示，由正方体的性质可得：BD1⊥B1C，BD1⊥AC．∴BD1⊥平面ACB1．∴平面ACB1的一个法向量为𝐵𝐷1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑．故选：A．【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质、平面的法向量，考查了推理能力与计算能力．4．C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算进行判断即可.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总9页【详解】𝐴1𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴1𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐴𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴1𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝐷1𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝐷1𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝐷𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝐴1𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+12𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,∴𝐴1𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑∥𝐷1𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,从而A1M∥D1P.∴①③④正确..对于②若𝐴1𝑀∥𝐵1𝑄，则𝐴1𝐵1∥𝑀𝑄，显然错误.故选C.【点睛】本题考查空间线线，空间线面的位置关系，属基础题.5．D【解析】【分析】直接利用共面向量定理，推出结果即可．【详解】∵𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=λ𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑+μ𝐶𝐸⃑⃑⃑⃑⃑,∴𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑,𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑,𝐶𝐸⃑⃑⃑⃑⃑共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.【点睛】本题考查共面向量定理的应用，属基本知识的考查．6．A【解析】【分析】由已知中A，B，C三点的坐标，我们可以求出向量𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑的坐标，进而根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，其数量积均为0，可以构造法向量坐标的方程组，解方程组可得答案．【详解】设法向量为n=(x,y,z),则𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑·n=0,𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑·n=0,则{-𝑎𝑥+𝑏𝑦=0,-𝑎𝑥+𝑐𝑧=0,所以n=(bc,ac,ab).【点睛】本题考查的知识点是用向量语言表述线面垂直关系，其中根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，数量积均为0，构造关于法向量坐标的方程组是解答的关键．7．C本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总9页【解析】【分析】利用空间向量说明结论的正确与否..【详解】∵DD1∥AA1,𝐴𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,0,1)，故①正确；BC1∥AD1,𝐴𝐷1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,1),故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1,𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,0).故③正确；点C1的坐标为(1,1,1),𝐴𝐶1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑与平面B1CD不垂直,故④错.【点睛】本题考查利用空间向量证明结论的正确与否，属基础题.8．D【解析】试题分析：：∵点P（x，-1，3）在平面ABC内，∴存在实数λ，μ使得等式𝐴𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝜆𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑+𝜇𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑成立，∴（x-4，-2，0）=λ（-2，2，-2）+μ（-1，6，-8），∴{𝑥−4=−2𝜆−𝜇−2=2𝜆+6𝜇0=−2𝜆−8𝜇，消去λ，μ解得x=11考点：向量在几何中的应用9．−3232【解析】【分析】由已知可得𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（−1，−2−𝑦，𝑧−3）=𝜆（2，1，3），进而可得λ，y，z的值．【详解】∵直线l的方向向量为𝑣=(2,-1,3)，且直线过A（0，y，3），B（-1，2，z）两点．则𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（−1，2−𝑦，𝑧−3）=𝜆（2，1，3）则𝜆=−12，−2−𝑦=−12，𝑧−3=−32解得：𝑦=−32．𝑧=32，故答案为：𝑦=−32．𝑧=32。【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总9页本题考查的知识点是直线的方向向量，正确理解𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（−1，−2−𝑦，𝑧−3）=𝜆（2，1，3），是解答的关键．10．9【解析】【分析】由若𝑎,𝑏⃑,𝑐共面，则存在实数m，n，使得𝑐＝𝑚𝑎+𝑛𝑏⃑，由此能求出实数λ．【详解】∵𝑎=(2,-1,3),𝑏⃑=(-1,4,-2),𝑐=(7,7,λ),，∴由若𝑎,𝑏⃑,𝑐共面，则存在实数m，n，使得𝑐＝𝑚𝑎+𝑛𝑏⃑，∴（7，7，λ）=m（2，-1，3）+n（-1，4，-2），∴{2𝑚−𝑛＝7−𝑚+4𝑛＝73𝑚−2𝑛＝𝜆，解得n=3，m=5，∴λ=3×5-2×3=9．故答案为：9．【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量共面的性质的合理运用．11．154【解析】【分析】由α∥β，可得𝑢⃑∥𝑣．利用向量共线定理即可得出．【详解】因为α∥β,所以u∥v.则𝑥-1=1𝑦=-212,即{𝑥=4,𝑦=-14,故x+y=154.【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．𝑛⃑=(1,1,1).本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总9页【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y，DD1为z轴，建立空间直角坐标系