数字信号处理-采样定理1

1连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。1、信号被抽样后频谱如何变化？2、什么情况下，可以从抽样信号中不失真地恢复出原来信号？1.5模拟信号数字处理方法2xa(t)ot(a)(b)xa(t))(ˆatxTp(t)tttt(c)(e)(d)(f)s(t)xp(t))(ˆatxooooT1T1.实际抽样与理想抽样)()()(ˆtstxtxaa)()()(ˆnTtnTxtxana32.理想采样信号的频谱dtetsjSdtetxjXtjtjaa)()()()()()(21)(ˆjSjXjXaa)()()(ˆtstxtxaa我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生了什么变化。4kTjkjaXTjaX)2(1)(ˆ0Ωc－ΩcXa(jΩ)P(jΩ)－ΩsΩsΩΩ0Xa(jΩ)Ω0Xa(jΩ)ΩΩcΩs（a）（b）（c）（d）＾＾2s0－ΩsΩs－Ωsδ2s2s傅氏变换仍为冲激序列导致频域周期延拓sfTs22最高截止频率为Ωc1/T回答问题1回答问题25)(ˆjXa抽样信号的频谱为周期性信号，其周期为,22ssfTTs2,2Cs当将在2s发生频率混叠或,2/Cs1、信号被抽样后频谱如何变化？6由此得出ktjkktjksseFTeTFtsFjS11)]([)(由于)(2][sjkkeFs所以)(2)(skkTjSktjkseTts1)(ktjkkseats)(7根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得TdtetTdtenTtTdtetsTaTTtjkntjkTTtjkTTksss1)(1)(1)(12/2/2/2/2/2/利用了以下关系:dtttff)()()0(因而ktjkseTts1)(ktjkkseats)(8dkjXTdkjXTjXkTjXsakksakasa)()(1)()(1)()(221)(ˆ根据冲激函数的性质，可得ksaajkjXTjX)(1)(ˆ或者kaaTjkjXTjX21)(ˆ2008-3李建勋[e-mail]90Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾2||02||)(ssTjG抽样的恢复10(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进奈奎斯特取样定理称为折叠频率Ts2(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs≥2Ωc，那么让采样信号x^a(t)通过一个增益为T，截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则Ωs2Ωc会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量，才能无失真地恢复原连续信号。11在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到Ωs取(3～4)Ωh。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为Ωs/2，以便滤除掉高于Ωs/2的频率分量。12Xa(j)ππ－0o0)j(ˆaX－0o0－s2ss)j(ˆaX－0o0－s2ss(c)(b)(a)2s0＜T2s0＞TTTttxa0cos)(分析余弦信号情况下频谱混叠:13－00Ya(j)Ya(j)－(s－0)ππππ混叠无混叠(e)(d)0＞T0＜Toos－0ttya0cos)(ttysa)cos()(0140Xa(jΩ)Ω＾G(jΩ)xa(t)ya(t)0G(jΩ)Ω－π/Tπ/T0Xa(jΩ)Ω（a）（b）（c）（d）＾1/2/21()()2sinsin12222()ssjtsjtsshtFGjGjedttTTedttTT其中，6.抽样的理想恢复内插函数()()()sanxtxnTtnT15()[()()]()()()()()()sin(()/)()()/sin(()/)()()/()aanananananytxnTnTgtdxnTnTgtdxnTgtnTtnTTxnTtnTTtnTTxnTatnTTxt16maamTtTmTtTSinmTxtx:)(5.抽样的理想恢复17抽样恢复的实际做法零阶保持器的输出波形零阶保持器的幅度响应18