分式及其运算

第一单元数与式第5讲分式及其运算内容索引备考基础温故知新，明确考向重点突破分类讲练，以例求法易错防范辨析错因，提升考能备考基础返回考点梳理分式的概念1.概念：形如(A、B是整式，B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式．2.分式有意义的条件：分母不为0.3.分式的值为0的条件：分子为0，但分母不为0.AB分式的基本性质1.基本性质：(M是不为零的整式)．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形．2.分式的约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分．3.最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式．4.分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分．AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷M5.最简公分母：通分时，一般取各分母系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的积作为公分母．6.分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．即ab＝－a－b＝－a－b＝－－ab；－ab＝a－b＝－ab.分式的运算法则1.分式的加减法则：(1)同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减，即(2)异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减，即ac±bc＝(c≠0)．ab±cd＝±＝ad±bcbd(b≠0，d≠0)．a±bcadbd2.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即ab×cd＝acbd(b≠0，d≠0)．bcbd3.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即4.分式的乘方法则：一般地，当n为正整数时，分式乘方是把分子、分母各自乘方，即ab÷cd＝×＝adbc(b≠0，c≠0，d≠0)．abn＝(n为正整数)．abanbndc特别提醒以上法则中的字母a、b、c、d所代表的可以是单项式，也可以是多项式.分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，有除法运算时，先将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的．特别提醒实数的各种运算律也适合分式的运算，注意灵活运用，提高解题的质量和速度；分子或分母的系数是负数时，要把“－”号提到分式本身的前边；分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式.基础诊断2.要使分式有意义，则x的取值应满足()A.x＝－2B.x≠2C.x－2D.x≠－2D1.在式子y2，x，12π，2x－1中，属于分式的个数是()A.0B.1C.2D.3B1x＋2返回3.分式－11－x可变形为()A.－1x－1B.11＋xC.－11＋xD.1x－1D4.化简x2x－1＋11－x的结果是()A.x＋1B.1x＋1C.x－1D.xx－1A5.当x＝2016时，计算：1＋1x－1÷x2＝________.22015重点突破返回类型一使分式有意义的条件答案点拨点拨分式有意义的条件是分母不等于零．【例1】(2017·湖州)要使分式有意义，x的取值应满足________．x≠21x－2答案解解得：a≥－1且a≠2.【变式1】(2017·日照)式子有意义，则实数a的取值范围是()A.a≥－1B.a≠2C.a≥－1且a≠2D.a＞2解式子a＋1a－2有意义，则a＋1≥0，且a－2≠0，a＋1a－2C解题要领要使分式有意义，可先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义.类型二分式基本性质的运用点拨先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【例2】(2017·江西)计算：x＋1x2－1÷2x－1.解原式＝x＋1x＋1x－1·x－12＝12.点拨解答案解【变式2】(2017·枣庄)化简：x＋3x2－2x＋1÷x2＋3xx－12＝________.解原式＝x＋3x－12·x－12xx＋3＝1x.1x解题要领分式基本性质是分式变形的依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则，分式的值会改变.类型三分式的化简与求值点拨根据分式的基本性质、除法和减法法则进行化简，然后将a的值代入即可解答本题．【例3】(2017·日照)先化简，再求值：1a＋1－a＋1a2－2a＋1÷a＋1a－1，其中a＝2.点拨解解原式＝1a＋1－a＋1a－12·a－1a＋1＝1a＋1－1a－1＝a－1－a＋1a＋1a－1＝－2a2－1，当a＝2时，原式＝－222－1＝－22－1＝－2.【变式3】(2017·哈尔滨)先化简，再求代数式的值，其中x＝4sin60°－2.1x－1÷x＋2x2－2x＋1－xx＋2解原式＝1x－1·x－12x＋2－xx＋2＝x－1x＋2－xx＋2＝－1x＋2，当x＝4sin60°－2＝4×32－2＝23－2时，原式＝－123－2＋2＝－123＝－36.解解题要领分式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，此外，实数的运算律对分式运算同样适用.点拨类型四分式的创新应用点拨该题若采用常规方法求值，过程相对比较烦琐，但可根据题目特点，使用倒数法求值．解【例4】已知xx2－x＋1＝7，求x2x4＋x2＋1的值．解∵xx2－x＋1＝7，∴x≠0，∴x2－x＋1x＝17，x＋1x＝87.∵x4＋x2＋1x2＝x2＋1x2＋1＝x＋1x2－1＝872－1＝1549，∴x2x4＋x2＋1＝4915.【变式4】已知b＋ca＝c＋ab＝a＋bc，求abca＋bb＋cc＋a的值．解解设b＋ca＝c＋ab＝a＋bc＝R，∴b＋c＝aR，c＋a＝bR，a＋b＝cR，∴(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)＝aR＋bR＝cR，即2(a＋b＋c)＝R(a＋b＋c)，(a＋b＋c)(2－R)＝0，∴a＋b＋c＝0或R＝2，若a＋b＋c＝0，得R＝－1，∴R＝2或R＝－1.∴原式＝abcabcR3＝1R3，即原式＝18或－1解题要领在求代数式的值时，有时出现条件或所求代数式不易化简变形，当把分式的分子、分母颠倒后，变形就容易多了，这样的问题通常采用倒数法求值，如“例4”；有些代数式求值的已知条件如“变式4”的连等式给出时，用设R的方法会更加简便.返回易错防范返回试题甲乙两人两次到某地采购某种产品，两次购买的单价不同，分别为x元/千克与y元/千克，甲每次买1000千克，乙每次花费1000元，你认为谁的购买方式平均单价较低？易错警示系列5不能正确用分式表示实际数量关系正确解答分析与反思剖析∴当(x＋y)24000时，乙的购买方式平均单价较低；当(x＋y)2＝4000时，两种购买方式平均单价相等；当(x＋y)24000时，甲的购买方式平均单价较低．错误答案展示解：甲两次的平均单价为x＋y2元/千克，乙两次购买的平均单价为2000x＋y元/千克，∵x＋y2－2000x＋y＝x＋y2－40002x＋y，正确解答分析与反思剖析剖析本题错解的原因是考生对用字母表示商品的平均单价的应用题比较陌生，不能正确用代数式表示商品的平均单价．正确解答解：甲两次的平均单价为：1000x＋1000y2000＝x＋y2(元/千克)，乙两次购买的平均单价为：20001000x＋1000y＝2xyx＋y(元/千克)，正确解答分析与反思剖析正确解答返回分析与反思剖析则x＋y2－2xyx＋y＝x＋y2－4xy2x＋y＝x－y22x＋y≥0，∵x≠y，∴x＋y2－2xyx＋y0，∴x＋y22xyx＋y，即乙的购买方式平均单价较低．分析与反思解答本题的关键是用代数式表示两次购买的平均单价，然后比较两个代数式的大小．作差法是比较大小的常用方法．本课结束更多精彩内容请登录：