2015年小高组初赛A卷解析

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛A卷解析（小学高年级组）总分：150分时间：60分钟一、选择题．（每小题10分，共60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1.现在从甲、乙、丙、丁四个人中选出两个人参加一项活动．规定：如果甲去，那么乙也去；如果丙不去，那么乙也不去；如果丙去，那么丁不去．最后去参加活动的两个人是（）．（A）甲、乙（B）乙、丙（C）甲、丙（D）乙、丁【答案】B【题型】逻辑推理、逆否命题【解析】在逻辑推理中，原命题成立，则逆否命题也成立．（1）甲去则乙去，逆否命题：乙不去则甲也不去（2）丙不去则乙不去，逆否命题：乙去则丙去（3）丙去则丁不愿意去，逆否命题：丁去则丙不去从（2）出发可以看出答案为B.题目要求有两个人去，可以使用假设法，若甲去，则乙去，乙去则丙也去．三个人去，矛盾，所以甲不去．若丙不去则乙不去，那么只有丁去，矛盾，所以丙去．丙去则丁不去，由两个人去得到结论，乙要去．所以答案是B，丙和乙去．2.以平面上任意4个点为顶点的三角形中，钝角三角形最多有（）个．（A）5（B）2（C）4（D）3【答案】C【题型】最值、构造【解析】4个点，最多可以构造C434个三角形．如图所示，共有图中四个三角形均为钝角三角形．3.桌上有编号1至20的20张卡片，小明每次取出2张卡片，要求一张卡片的编号是另一张卡片的2倍多2，则小明最多取出（）张卡片．（A）12（B）14（C）16（D）18【答案】A【题型】倍数、枚举【解析】由于有2倍多2的关系，所以1、4、10只能取其中两个，2、6、14只能取其中两个，3、8、18只能取其中两个．即这里至少有3个数取不到，而11、13、15、17、19不满足2倍多2的关系，也无法取到．合计至少有8个数取不到，取12个数为最多的情况.列举最多的一种情况：1、4；2、6；3、8；5，12；7，16；9，20.取到了最多的12个数的情况．4.足球友谊比赛的票价是50元，赛前一小时还有余票，于是决定降价．结果售出的票增加了三分之一，而票房收入增加了四分之一，那么每张票售价降了（）元．（A）10（B）25（C）50（D）2523【答案】B【题型】方程【解析】设共有x张票，赛前一小时的余票降价y元.由题意得：14(x50)13[x(50y)],y2525.一只旧钟的分针和时针每重合一次，需要经过标准时间66分．那么，这只旧钟的24小时比标准时间的24小时（）．（A）快12分（B）快6分（C）慢6分（D）慢12分【答案】D【题型】时钟问题【解析】时针速度为每分钟0.5度，分针速度为每分钟6度.分钟每比时针多跑一圈，即多跑360度，时针分针重合一次.经过360720分钟，旧钟时针分针重合一次，需要经过标准60.511(2460)661452分钟，所以比标准时间66分钟；则旧钟的24小时，相当于标准时间的72011时间24小时对应的24601440分钟多了1452-1440=12分钟，即慢了12分钟6.在右图的6×6方格内,每个方格中只能填A,B,C,D,E,F中的某个字母，要求每行、每列、每个标有粗线的2×3长方形的六个字母均不能重复．那么，第四行除了首尾两个方格外，中间四个方格填入的字母从左到右的顺序是（）．（A）E,C,D,F（B）E,D,C,F（C）D,F,C,E（D）D,C,F,E【答案】C【考察知识点】数阵图：数独【分析】每行每列每个3*2的粗线方格均必有A、B、C、D、E、F各一个，选择一个合适的位置，尝试即可快速得出答案。以下提供一种解法：如图所示，第一列和第二行已经有A，所以左上角3*2粗线方格的A只能填在第二列；因为第一列和第二列已经有A，所以左下角3*2粗线方格的A只能填在第三列；因为第五列和第四行已经有A，所以右中位置的3*2粗线方格的A只能填在第四列；因为第五行和第五列已经有A，所以右下角3*2粗线方格的A只能填在第六列；以此类推，可以填出所以的数.二、填空题(每小题10分，共40分)7.6018.过正三角形ABC内一点P，向三边作垂线，垂足依次为D,E,F,连接AP,BP,CP．如果正三角形ABC的面积是2028平方厘米，三角形PAD和三角形PBE的面积都是192平方厘米，则三角形PCF的面积为________平方厘米．【答案】630【题型】几何：一半模型【解析】AAFDPBECB①②F③D⑫④⑪⑩P⑤⑥⑨⑧⑦EC过点P作AB,AC,BC的平行线，则S1=S2，S3=S4，S5=S6，S7=S8，S9=S10，S11=S12；所以S=S=1S=12028=1014cm2，则S=1014-1922=630cm22阴影白2△ABC△PCF9.自然数2015最多可以表示成________个连续奇数的和．【答案】31【题型】计算【解析】点评：牢记天下无双，个数平方！指从1开始的连续奇数的和，等于奇数个数的平方，即：1+3+5+L+(2n-1)=n2．2015能表示成连续奇数的和，轾轾22则2015=1+3+5+L+(2n-1)-1+3+5+L+(2m-1)=n-m臌臌所以能写成n-m个连续奇数的和，2015=51331=(n+m)(n-m)，把2015表示成2015=6531时，n-m最大为31，所以最多能写成31个连续奇数的和．10.由单位正方形拼成的15×15网格，以网格的格点为顶点作边长为整数的正方形，则边长大于5的正方形有________个．【答案】393【题型】计数：几何计数【解析】点评：在格点中寻找正方形一定要想方向可能会有正着的的斜着的，此题只要求找边长为整数的正方形，还不算特别恶心．（1）正着的：最小为66的正方形，如图，共1010个；依次77的有99个……所以正着的正方形共102+92+82+L+12=101121=385个．6（2）斜着的：要求边长为整数，所以可以从特殊勾股数进行尝试1086可寻找到如图边长为10的正方形，共4个（可往右方和下方平移）构造弦图，大正方形的边长是14，每一个边长为14的正方形内可以构成2个边长为10的正方形。综上，可找到385+4?2=393个边长大于5的正方形．