集合与函数章节复习93677

1集合与函数章节复习一、集合：（一）知识1.集合（1）集合元素的3个性质——互异、确定、无序。（2）集合的3种表示方法——列举、描述、图示。（3）元素与集合间的关系————属于或不属于。2.子集（1）定义：ABBABxAx或则对于任意,（2)性质:若ABBC，，则AC(3)有限集A有n个元素，A的子集有2n个(4)两个集合相等的概念.BAABBA，则且3.空集空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.4.集合的运算（1.）定义：交集：{|ABxxA且}xB；并集：{|ABxxA或}xB；补集：若BU,则{|UCBxxU且}xB；（2）性质：,AAA,,AAAAAA；,,.AABABAABABABAAB．ABAAB；()()()UUUCABCACB，()()()UUUCABCACB（二）方法与思想：1.解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么，即元素分析意识；2.能化简的要先化简，即化简的意识；3.抓住集合中元素的性质，对互异性要注意检验，即检验的意识；4、求交集、并集、补集，要充分发挥数轴、坐标系或文氏图的作用，即数形结合的意识；5、含参数的问题，要有分类讨论的意识，分类讨论时要防止丢掉空集；6、善于把集合语言与方程、不等式、函数、曲线进行语言“互译”的能力。（三）典型例题1.已知集合A=｛2，8，a｝,B=｛2，a2-3a+4｝,又AB，求a的值。(解：a=-1或4)2.已知{1,a,b}={a,a2,ab},求实数a,b的值.（答案：a=-1，b=0）3.设A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2-px+15=0},A∩B={3}.则P=________,q=________.A∪B=_________（答案：P=8,q=6,A∪B={2,3,5}）4.设U=R,A={x|-1x≤5或x=6}B={x|2≤x5},则CUA=______CUB=______,CAB=____（答案CUA={x|x≤-1或5x6或x6}CUB={x|x2或x≥5}CAB={x|-1x2或x=5或x=6}）5.设U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（CUA）∩B={3，7}，（CUB）∩A={2，8}，(CUA)∩(CUB)={1，5，6}，则集合A=，B=(答案：A={2,4,8,9}B={3,4,7,9}建议利用Venn图解决)6.已知集合A={1,2}，且A∪B={1,2,3,4}，则满足条件的集合B的个数有多少？（4个）7.已知集合BCBAxxyyCAxxyyBaxxA若，,|,32|,2|2,求a的取值范围。（答案：321a）2二、函数：(一)定义域列出使函数有意义的不等式，求解即得函数的定义域。1.求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方式大于等于零，零指数幂的底数不等于零；（3）由基本函数通过四则运算得的函数的定义域是各基本函数定义域的交集；（4）分段函数的定义域是各段的并集.2.类型与方法（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义；（3）复合函数问题①若()fx的定义域为,ab，()fgx的定义域应由()agxb解出；②若()fgx的定义域为,ab，则()fx的定义域为xg在ba,上的值域．注意：①与中的xxfxgf中的xg地位相同；②定义域所指永远是x的范围.3.典型例题（1）求下列函数的定义域：①f(x)=11+1x),0()0,1()1,(②f(x)=(x+1)0|x|-x)0,1()1,(（2）若函数y=f(2x+3)的定义域是[-4,5],求y=f(x)以及y=f(2x-3)的定义域。答:[-5,13][-1,8]（二）解析式1.求函数解析式的题型与方法（1）已知f[g(x)],求f(x)——换元法或配凑法（2）已知函数的类型（往往是一次或二次函数）——待定系数法（3）含f(x)与f(-x)；f(x)与f(x1)——解方程组法(4)已知一个区间的表达式，求另一个区间的——转移法2.典型例题（1）已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式。解析：待定系数法f(x)=x2-2x-1(2)①已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式.②已知f(x+1x)=x2+1x2+1x,求f(x)的解析式。解析:换元法①f(x)=x2-1(x≥1)②f(x)=x2-x+1(x≠1)(3)周长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成图形的面积y关于的函数表达式，并写出它的定义域.答案：xlx2)22(y)20(lx3(4)已知f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2x+1，求f(x)在R上的解析式。答案：)0(12)0(12)(22xxxxxxxf（三）值域与最值1．方法步骤：一看定义域二看解析式三运用单调性四运用常见函数（尤其是二次函数）2.掌握两个函数(0);(0)axbbacayabacyxaxcxcx的图象和性质；3.典型例题（1）已知函数f(x)=2x-1(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值.解析：用定义证明)(xf在[2,6]上单调递减，2)2()(,52)6()(minmaxfxffxf（2）已知函数f(x)=x+1x(x0),①证明当0x1时，函数f(x)是减函数；当x≥1时，函数f(x)是增函数；②求函数的最小值.（3）求函数y=x2-4x+6在x(1,5]上的最值。（四）单调性1．证明单调性：定义法有五步：取值、作差、变形、定号。2．求单调区间：（注意先求定义域）①y=f(x)+a与y=f(x)单调性相同②当A0时,y=Af(x)与y=f(x)的单调性相同；A0时相反。③相反在同号区间上的单调性与)()(1xfyxfy④奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数相反。3．作用：比较大小、解方程、解不等式、求最值、求值域。4．典型例题（1）当x(-2,+∞)时,f(x)=2x2-mx+3为增函数,当x(-∞,-2)时为减函数,则f(1)=_______（2）讨论函数y=x2-2ax+3在[-2,2]上的单调性.（答案:当a-2时增;当a-2时减;当-2≤a≤2时，在[-2,a]上减、[a,2]上增）（3）判断函数y=1x--x在(0,+∞)上的单调性,并求x[1,4]的值域.(答案:减函数，值域[-74,0])（五）奇偶性1.判定奇偶性常用方法：4方法1：定义（注意先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)与f(x)的关系）方法2：图象：奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。2.注意:（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=)(xf;（2）若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则(0)0f（可用于求参数）；（3）等价形式：作差：f(x)±f(-x)=0或作商：1)()(xfxf（f(x)≠0）;（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）分段函数的奇偶性分段看。3.典型例题（1）判断下列函数的奇偶性：①f(x)=x3-x2x-1②xxxxf111③2212xxxf④　　　　　　　　ｘ＜０　　　　ｘ＞０xxxxxf22(答案：①不具有奇偶性，②不具有奇偶性，③奇函数，④奇函数)（2）f(x)的定义域关于原点对称，判断F(x)=12[f(x)+f(--x)]及G(x)=12[f(x)--f(--x)]的奇偶性。（答案：F(x)偶，G(x)奇）（3）已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2--2x,求f(x)的解析式？（4）f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5，其中a,b,c,d,为常数，若f(--7)=--7,求f(7)的值。答案：17（六）函数的图象1．作函数图象一般有方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线。注意：要利用单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图。方法二：变换法———熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转。（1）平移)()(hxfyxfy左加右减；kxfyxfy)()(上加下减（2）对称)()(xfyxfyy轴对称关于；)()(xfyxfyx轴对称关于)()(xfyxfy关于原点对称（3）翻折①图示：)(xfy)(xfy②图示：)(xfy)(xfy52．作用：（1）研究函数性质：值域、单调性、最值；（2）比较大小，解不等式、解方程。3.典型例题（1）作函数xxxf42图象，由图象写函数的单调区间，求其在[1,3]上的值域。（2）m为怎样的实数时，方程mxx542有四个互不相等的实数根？