2019高职高考数学复习-圆与直线、圆与圆的位置关系

8.5圆与直线、圆与圆的位置关系【复习目标】1.理解并掌握圆与直线的位置关系,会判断直线与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系,会判断圆与圆的位置关系.3.能运用圆与直线、圆与圆的位置关系知识,求解相关问题.【知识回顾】1.圆与直线的位置关系直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2由直线和圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,求出判别式Δ(1)直线与圆相离⇔圆与直线没有公共点⇔Δ0⇔圆心到直线l的距离dr.(2)直线与圆相切⇔圆与直线有一个公共点⇔Δ=0⇔圆心到直线l的距离d=r.(3)直线与圆相交⇔圆与直线有两个公共点⇔Δ0⇔圆心到直线l的距离dr.【说明】若从计算的繁简来考虑常使用后者即几何法,而前者代数法是解析几何中研究两曲线交点问题的通法,具有一般性.当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离=d+r,最小距离=d-r,其中d为圆心到直线的距离.知圆上一点P(x0,y0),则过点P的圆(x-a)2+(y-b)2=r2的切线方程为:(x-x0)(x0-a)+(y-y0)(y0-b)=0.2.圆与圆的位置关系圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=R2,d=|C1C2|(1)外离⇔dR+r.(2)外切⇔d=R+r.(3)相交⇔R-rdR+r,(Rr).(4)内切⇔d=R-r.(5)内含⇔dR-r.【例题精解】【分析】此题知圆心,欲求圆的方程,只要求出圆的半径即可.【解】由直线与圆的位置关系知,圆的半径为点C(1,3)到直线3x-4y-6=0的距离,即r=|𝟑×𝟏−𝟒×𝟑−𝟔|𝟑𝟐+𝟒𝟐=3,所以所求圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9.【例1】求圆心在点C(1,3),并且与直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.【分析】用待定系数法求圆的方程有两条途径:若知道圆心坐标,用标准方程较为简单:若知道三个点,用一般方程较为简便.此题知道圆上两个点,不知圆心,但知圆心满足的条件,而圆的一般方程中,表示圆心坐标不是很难.当然也可以用标准方程来求解.【解】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心坐标为(-𝑫𝟐,-𝑬𝟐)由题意得:𝟔𝑫+𝑭+𝟑𝟔=𝟎𝑫+𝟓𝑬+𝑭+𝟐𝟔=𝟎𝟐(−𝑫𝟐)−𝟕(−𝑬𝟐)+𝟖=𝟎解之得𝑫=−𝟔𝑬=−𝟒𝑭=𝟎所以所求圆的方程是x2+y2-6x-4y=0.【例2】求过点A(6,0)、B(1,5)且圆心在直线l:2x-7y+8=0上的圆的方程.【例3】已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线(1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点.2222222222222()22220(2)42(2)4(2)(2)(1)022,2220.(2)022,2220.(3)0yxbxyxxbxbxbbbbbbxbxbbbxbxb【解法一】将代入得化简整理得判别式当，即时方程有两个不等的实根，直线与圆有两个公共点当，即或时方程有两个相等的实根，直线与圆有一个公共点当，2222,2220.bbxbxb即或时方程没有实根，直线与圆没有公共点222222(0,0),2(0,0)02(1)2-2222.(2)2-2222.(3)2-2222OrbOxybdbdrbyxbxybdrbbyxbxybdrbbyxbxy【解法二】圆心为圆心到直线的距离为当时，即，，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点当时，即，或，直线与圆相切，直线与圆有一个公共点当时，即，或，直线与圆相离，直线.与圆没有公共点【点评】判定直线与圆的公共点，用方程组解的个数来判定是代数方法，此题方程系数较简单，采用代入法容易一些；也可以用几何方法，用圆心到直线距离来判定.【解法一】如图,圆心为C(1,-1),则CP所在直线的斜率为kCP=𝟐+𝟏𝟓−𝟏=𝟑𝟒,切线l⊥CP,由直线垂直关系知:切线l的斜率为k=-𝟒𝟑,则由点斜式可求得切线l的方程为:y-2=-𝟒𝟑(x-5)即4x+3y-26=0.【解法二】切线l⊥CP,则𝑪𝑷→=(4,3)为切线l的法向量,由直线方程的点法式得切线l的方程为:4(x-5)+3(y-2)=0即:4x+3y-26=0.【解法三】设M(x,y)为切线l上任意一点,则𝑪𝑷→=(4,3),𝑷𝑴→=(x-5,y-2),且𝑪𝑷→⊥𝑷𝑴→(4,3)·(x-5,y-2)=0得切线l的方程为:4x+3y-26=0.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径是求圆的切线的切入点.两条直线垂直可以通过斜率反映;法向量的概念也反映出向量与直线的垂直关系;也可以从两个向量内积为零体现垂直的性质.利用向量知识也可以解决过直线外一点求圆的切线问题.【例4】已知圆(x-1)2+(y+1)2=25上一点P(5,2),求过点P的圆的切线方程.【同步训练】【答案】D一、选择题1.直线x+2y-8=0与圆x2+y2=25的位置关系是()A.相离B.相切C.直线过圆心D.直线与圆相交但不过圆心【答案】C222.(-1)(2)5322013A.13B.3C.D.1313xyxy已知圆与直线，则圆心到直线的距离是【答案】C3.直线y=x+b经过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心,则b=()A.-3B.0C.3D.-2【答案】B4.若直线3x+4y+k=0与圆(x-3)2+y2=4相切,则k的值等于()A.-1或19B.1或-19C.1D.±10【答案】D225.-(-2)(1)2A.(3-22,322)B.(3-22,322]C.[1,5]D.(1,5)yxbxyb直线与圆相割，则实数的取值范围是区间【答案】C226.-2A.[-22,22]B.(-22,22)C.[-2,2]D.(-2,2)yxaxya若直线与圆至少有一个交点，则的取值范围是【答案】C7.两圆x2+y2=9与(x-3)2+(y+4)2=16的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】C222228.(0)3)(4)4A.05B.27C.37D.39xyrrxyrrrrr要使圆与圆(有交点，则的取值范围是【答案】C9.直线x+2y+1=0被圆(x-2)2+(y-1)2=25所截得的弦长等于()A.2𝟓B.3𝟓C.4𝟓D.5𝟑【答案】D2210.104A.20B.220C.20D.220xyxyxyxyxyxy下列直线中，平行于直线且与圆相切的是二、填空题11.圆心在点C(1,3)，并且和直线3x-4y-6=0相切圆的方程.12.圆x2+y2=13与直线x-y-1=0的位置关系为.13.若直线y=x-2与圆x2+y2=r2相切,则r=.14.过圆(x-1)2+(y+2)2=16上一点(1,2)的圆的切线方程是.15.两个圆(x+5)2+(y-3)2=52和(x-1)2+(y+2)2=9的位置关系为.𝟐y=2(x-1)2+(y-3)2=9相交相交三、解答题2216.3-016xymxym已知直线与圆，求当去何值时，直线与圆没有交点？一个交点？两个交点？222222222223-016423160(23)44(16)4256(1)088423160.(2)088423160.(3)0xymxyxmxmmmmmxmxmmmxmxm【解法一】联立方程组化简整理得判别式当，即时，方程有两个不等的实根，直线与圆有两个公共点当，即或时，方程有两个相等的实根，直线与圆有一个公共点当2288423160.mmxmxm，即或时，方程没有实根，直线与圆没有公共点2222(0,0),4(0,0)302(1)4-8830216.(2)4-8830216.(3)4-88302OrmOxymdmdrmxymxymdrmmxymxymdrmmxymx【解法二】圆心为圆心到直线的距离为当时，即，，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点当时，即，或，直线与圆相切，直线与圆有一个公共点当时，即，或，直线与圆2216.y相离，直线与圆没有公共点【解】圆心C(2,-1)原点在圆上,即原点为切点.𝑶𝑪→=(2,-1)2×(x-0)+(-1)(y-0)=02x-y=017.已知圆(x-2)2+(y+1)2=5,求经过原点的该圆的切线方程.【解】设d为圆心到直线的距离d=|𝟑×𝟎+𝟒×𝟎−𝟏𝟓|𝟑𝟐+𝟒𝟐=𝟏𝟓𝟓=3|𝑨𝑩|𝟐=𝟖𝟐=4r2=42+32=25∴所求圆的方程为x2+y2=2518.已知直线3x+4y-15=0与圆交于A、B两点,若弦AB的长为8,且圆心在原点,求圆的方程.