浙江大学材料力学乙-第十一讲

材料力学（乙）赵沛航空航天学院应用力学研究所MechanicsofMaterials1、静矩（面积矩）重要基本概念的回顾与强化AyzdASAzydASAydAyACAzdAzAC2、形心3、静矩与形心关系AzSAySCyCz截面对通过形心轴的静矩等于零；如截面对轴的静矩等于零，该轴一定通过形心。dAyzzy4、惯性矩重要基本概念的回顾与强化5、惯性积6、极惯性矩zyOdAyzρAydAzI2AzdAyI2AyzyzdAIAPdAρI27、惯性半径AIiyyAIizz8、平行移轴公式重要基本概念的回顾与强化abAIIzcyczyAbIIycy2AaIIzcz2两平行轴中必须有一轴为形心轴，截面对任意两平行轴惯性矩的关系，应通过平行的形心轴惯性矩来换算。9、转轴公式图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。惯性积等于零的一对坐标轴称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。10、主惯性轴、主惯性矩11、形心主轴、形心主矩重要基本概念的回顾与强化当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，他们就被称为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩，简称形心主矩。（1）平面图形有一条对称轴，则必定是形心主惯性轴，而另一条形心主惯性轴通过形心，并与此轴垂直。（2）平面图形有两条对称轴，则此都为形心主惯性轴。（3）平面图形具有三条或更多条对称轴，那么过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴，而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。作业图所示长度为l=2m的圆截面杆AB左端固定，承受均布力偶作用，其力偶矩集度（单位长度上的力偶矩）为b=20N·m/m。已知直径D=20mm,材料的剪切模量G=80GPa，[τ]=30MPa，许用单位长度扭转角[']=2/m。试校核该杆的强度和刚度。ABlmAmx作业解：ABlm（1）绘出杆的扭矩图。截取长为x的隔离体，利用平衡方程T(x)mlmxmlxTmlxT+最大扭矩在固定端mN40202mlTmax作业解：（2）作强度校核。满足强度条件τWTτtmaxmaxMPa25.50.02π40163危险点在A端（3）作刚度校核。满足刚度条件/m1.82rad/m103.180.02π10804032249PmaxGITdxdφφABlm第五章弯曲应力（2）mmFSM当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS。2、弯曲构件横截面上的应力§5.1纯弯曲弯矩M正应力σ只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩。剪力FS切应力τ内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力。所以，在梁的横截面上一般既有正应力又有切应力。mmFSmmM3、纯弯曲和横力弯曲§5.1纯弯曲GGPPPGPaalPPABCDPPsFPMPaPaconst=0=sMF，AB段：AC和BD段：00≠，≠MFs作内力图（纯弯曲）（横力弯曲）§5.2纯弯曲时的正应力实例：跳水如果跳板发生断裂，则更可能是出现在A处还是出现在B处？ABF§5.2纯弯曲时的正应力伽利略·伽利雷物理学家，天文学家，哲学家近代实验科学先驱者一般认为伽利略的名著《关于两门新科学的谈话和数学证明》（1638），书中有不少关于材料力学的内容，标志着材料力学的开端。伽利略为解决建造船只和水闸所需梁尺寸问题进行了一些实验，首先提出了计算梁强度的公式。§5.2纯弯曲时的正应力“显然，如果杠杆断裂，端口将发生在B的部位，此处固接的边缘充当施力杠杆BC的支点，而杆的厚度BA则是杠杆的另一臂，沿BA作用有抵抗力，以阻止墙内部分与墙外部分BD分离。因此，作用在C处力的大小与杆件厚度内抗力大小之比，等于厚度BA之半与长度BC之比。”lxABσPCD§5.2纯弯曲时的正应力lxABσPCD0BM2hbhσPl（矩形截面）24hπdσPl2（圆截面）22bhMσ8π3dMσ§5.2纯弯曲时的正应力几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式从三方面考虑变形问题：几何关系、物理关系、静力关系纯弯曲情形：00sF0?M§5.2纯弯曲时的正应力1、几何关系较易变形材料制成的矩形截面等直梁实验现象§5.2纯弯曲时的正应力变形观察纵向线各横向线仍保持为直线；相对转过了一个角度；仍与变形后的纵向弧线垂直。各纵向线段弯成弧线；靠近顶端的纵向线缩短；靠近底端的纵向线段伸长。横向线xaabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´1、几何关系§5.2纯弯曲时的正应力变形观察xaabbmnnmm´a´a´b´b´m´n´n´（1）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。1、几何关系§5.2纯弯曲时的正应力变形观察xaabbmnnm（2）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压。m´a´a´b´b´m´n´n´1、几何关系中性层和中性轴§5.2纯弯曲时的正应力中性层与横截面的交线：中性轴中性层中性轴横截面对称轴必有一层变形前后长度不变的纤维：中性层中性轴的位置？1、几何关系§5.2纯弯曲时的正应力几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式几何关系、物理关系、静力关系平面假设单向受力假设中性层、中性轴纯弯曲情形：00sF0?M1、几何关系几何关系的三维图示§5.2纯弯曲时的正应力dxdxyzxOybbOdzyxO’O’b’b’1、几何关系几何关系的二维图示§5.2纯弯曲时的正应力dxy中性层yz纵对称轴中性轴dx变形前变形后中性层弧长=dxdy横截面上距中性轴y处其纵向线应变为()dyddy应变分布规律直梁纯弯曲时纵向线应变与它到中性层的距离成正比1、几何关系§5.2纯弯曲时的正应力几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式几何关系、物理关系、静力关系平面假设单向受力假设中性层、中性轴ρyε纯弯曲情形：00sF0?M1、几何关系§5.2纯弯曲时的正应力根据胡克定律MyzOx等直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。应力分布规律：?中性轴的位置中性层的曲率半径??EρyEσ单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。2、物理关系§5.2纯弯曲时的正应力几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式几何关系、物理关系、静力关系平面假设单向受力假设中性层、中性轴ρyε纯弯曲情形：00sF0?MρyEσ2、物理关系§5.2纯弯曲时的正应力ANAFdMzAyAddAMyA00横截面上内力系为垂直于横截面空间平行力系简化得到三个内力分量内力与外力相平衡可得MyzdAyz3、静力关系§5.2纯弯曲时的正应力0dANAFd0AyEAyAAd00zS考察yzydA中性轴过截面的形心3、静力关系中性轴的位置在哪里？§5.2纯弯曲时的正应力比克门：（1620）发现梁的一侧纤维伸长，一侧纤维缩短。伽利略：（1638）梁横截面上只受到均匀分布的拉应力作用，因此未牵涉到中心轴问题。胡克：（1638）当梁弯曲时，凸面上的纤维伸长，凹面上的纤维缩短，但是未探讨中性轴。马略特：（1680）首先涉及中性轴问题：“你们可以想象，一半厚度的那一半挤压在一起，其中靠近外面的要比靠近中间的挤压得更厉害，而另外一半厚度的那部分则伸展”。lxABσPCD322hσAPllhσAP3§5.2纯弯曲时的正应力伯努利：（1700）“不论纤维是全部伸长，全部缩短，还是部分伸长，部分缩短，其结果都是一样的，中性轴的位置无关紧要”。中性轴的位置在哪里？lxABσPCD受拉（压）：用h/2代替hlhσAP6lhσAP3假定中性轴在截面的一端与假定在截面的中央都是一样的，位置无关紧要。帕伦：（1713）认识到截面上的抗力必须组成一个与载荷相平衡的力系，从而纠正了马略特以来关于中性轴位置的错误见解。中性轴的位置在哪里？§5.2纯弯曲时的正应力库伦：（1773）“任一横截面上水平分力之和为零，垂直分力的总和与载荷相等，水平分力对中性轴的力矩等于载荷对该轴的力矩，且”。但库伦的学说约半个世纪未被重视。lhσAP6纳维：（1819）“横截面上拉力对中性轴的力矩，等于压力对该轴的力矩”。（1826）“当材料服从弹性定律时，中性轴必定通过横截面的形心”。§5.2纯弯曲时的正应力考察d0yAMzAzEyAAd00yzId0AyzAdAyzyzM3、静力关系AyzdAyzI（惯性积）若一对坐标轴中有一轴为截面图形的对称轴，则截面对该对坐标轴的惯性积必为零§5.2纯弯曲时的正应力dAyzyzM研究dAyAMyEyAMAd1zMEIEyAMA2dMEIzyEzMyI3、静力关系§5.2纯弯曲时的正应力yEzMyI1zMEI1/ρ为梁弯曲后的曲率ρ为曲率半径M为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩3、静力关系§5.2纯弯曲时的正应力几何关系物理关系静力关系观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式几何关系、物理关系、静力关系平面假设单向受力假设中性层、中性轴ρyε纯弯曲情形：00sF0?MρyEσzEIMρ1zIMyσ3、静力关系§5.2纯弯曲时的正应力4、横截面上的正应力分布ZIMyσM与中性轴距离相等的点正应力相等；正应力大小与其到中性轴距离成正比；中性轴上正应力为零。§5.2纯弯曲时的正应力ZIMyσM应用公式时，一般将M、y以绝对值代入，根据梁变形的情况直接判断的正负号。以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（为正号），凹入边的应力为压应力（为负号）。4、横截面上的正应力分布§5.2纯弯曲时的正应力ZIMyσMM0M0M最大压应力最大拉应力最大拉应力最大压应力4、横截面上的正应力分布§5.2纯弯曲时的正应力1max,tZMyIyyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：2maxcZMyImaxmaxtcCzyy1y2MWZmaxmaxMyIZmaxzzIWy弯曲截面系数最大正应力：zy1maxyy2maxyyCminZMW4、横截面上的正应力分布§5.2纯弯曲时的正应力5、常见截面的IZ和WZAdAyI2ZZmaxyzIW圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI26zbhW12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zbhbhWh§5.2纯弯曲时的正应力AdAyI2ZZmaxyzIW圆截面空心圆截面644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW324pπdI163tπdW)1(3244pαπDI)1(1643tαπDWmaxptρIWAdAρI2p5、常见截面的IZ和WZ6、纯弯曲理论的推广§5.2纯弯曲时的正应力zMyI纯弯曲正应力公式上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面将产生剪切变形，使横截面发生翘曲。此外，在与中性层平行的纵截面上，有时还有由横向力引起的挤压应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假