2018届一轮复习北师大版-----------二次函数的再研究与幂函数------教案

1第四节二次函数的再研究与幂函数[考纲传真]1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图像定义域R值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在－∞，－b2a上减，在－b2a，＋∞上增在－∞，－b2a上增，在－b2a，＋∞上减对称性函数的图像关于x＝－b2a对称2.幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．(2)五种常见幂函数的图像与性质2y＝xy＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图像定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图像过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为()A.3B．±3C．±9D．9D[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f(x)＝x12＝x，故f(m)＝m＝3⇒m＝9.]3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()【导学号：66482042】A.0，120B．－∞，－1203C.120，＋∞D．－120，0C[由题意知a＞0，Δ＜0，即a＞0，1－20a＜0，得a＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是()【导学号：66482043】A．0B．1C．2D．4C[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：66482044】y＝－x2＋2x＋8[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，当x＝1时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1，∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]法一(利用一般式)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).2分由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，8分4解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的图像的对称轴为x＝2＋－12＝12.3分∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.8分∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.12分法三(利用零点式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.6分又函数的最大值是8，即4a－2a－1－－a24a＝8，解得a＝－4，∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分[规律方法]用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1]已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3)，它在x轴上截得的线5段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．[解]∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.2分又∵f(x)的图像被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.6分设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图像过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.10分∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.12分二次函数的图像与性质☞角度1二次函数图像的识别及应用(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()ABCD(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．(1)D(2)－22，0[(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，B错误．(2)作出二次函数f(x)的图像，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有fm＜0，fm＋1＜0，6即m2＋m2－1＜0，m＋12＋mm＋1－1＜0，解得－22＜m＜0.]☞角度2二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为()【导学号：66482045】A．－4B．－3C．－1D．0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为()A．2B．－1或－3C．2或－3D．－1或2(1)A(2)D[(1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥15，令t＝2xt≥15，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，当t＝1≥15，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A.(2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图像的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，由a2－a＋1＝2，解得a＝1＋52或a＝1－52.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝2，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.]7☞角度3二次函数中的恒成立问题已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．－∞，12[由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．当x＝0时，适合；当x≠0时，a＜321x－132－16.因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值12，所以a＜12.综上，实数a的取值范围是－∞，12.][规律方法]1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.幂函数的图像与性质(1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图像是()ABCD(2)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．(1)C(2)1[(1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.8(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.又m∈N*，∴m＝1或m＝2.由于f(x)的图像关于y轴对称．∴m2－2m－3的值应为偶数，又当m＝2时，m2－2m－3为奇数，∴m＝2舍去．因此m＝1.][规律方法]1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上递减，则α＜0.[变式训练2](1)设a＝0.512，b＝0.914，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是()【导学号：66482046】A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c(2)若(a＋1)12＜(3－2a)12，则实数a的取值范围是________．(1)D(2)－1，23[(1)a＝0.512＝0.2514，b＝0.914，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞c.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1＜3－2a，解得－1≤a＜23.][思想与方法]91．二次函数的三种形式的选法(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．研究二次函数的性质要注意(1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特征α0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α＜0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．[易错与防范]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．