3.整式、分式及函数

系统班数学第二部：代数第三章数列第一章整式、分式和函数第二章方程和不等式第一章整式、分式和函数第一节整式一、代数式及其分类代数式整式分式单项式：仅是数与字母非负整数幂的乘积多项式：有限个单项式的代数和221xyxzxy32121.整式的加减运算:去括号、合并同类项.二.整式的运算2.整式的乘法运算:分配率、合并同类项乘法公式.2222)(babababcacabcbacba222)(22223223333)(babbaaba22))((bababa3322))((babababa)1)(1(112nnaaaaa))((13221nnnnnnabaabbbaba被除式=除式×商式+余式3.整式的除法运算:（1）余式定理：)()()()(xrxhxfxF（2）余数定理：raxxfxF)()()()(aFr（3）因式定理：若F(a)=0,则F(x)含有因式(x–a)rbaxxfxF)()()()(abFr（4）竖式除法：)12()8354(223xxxxx)12()8354(223xxxxx例：835423xxx122xxx4xxx48423xx732833632xx5x)5()12)(34(8354223xxxxxxx三.多项式的分解因式1.提公因式法：)(cbaxcxbxax2.公式法：)96(2181224224223yxyxxxyyxx4.分组分解法：2222cbaba3.十字相乘法：8232xx2)3(2yxx)2)(43(xx))(()(22cbacbacba步骤：一提、二套、三分组13242465.双十字相乘法：针对二元二次六项式feydxcybxyax223355227222yxyxyx例：21a13f112c)32)(1112(3355227222yxyxyxyxyx例1.设a,b,c是互不相等的实数，且，则x,y,z满足（）A.都大于0B.至少有一个大于0C.都不小于0D.至少有一个小于0E.都小于0zacbybcax，，22abc2[题型1]乘法公式的恒等变形【考点的典型例题】bcacabcbazyx222bcacabcbazyx222222)(22220)()()(222cbcaba例2.有a=b=c=d成立（1）a2+b2+c2+d2–ab–bc–cd–da=0（2）a4+b4+c4+d4–4abcd=002222221222bcacabcba）（0)()()(222cbcaba充分112dbca，举例说明不充分：若）（0)2(222222242244224dcabcdbaddccbbaa等式变形：0)(2)()(2222222cdabdcba选A只要取a=b=–c=–d等式都成立例3如果多项式含有一次因式x+1和6)(23qxpxxxf23x，则多项式另外一个一次因式是（）A.x–2B.x+2C.x–4D.x+4E.x+5[题型2]考查待定系数法))(23)(1(6)(23mxxxqxpxxxf236)0(mf4m例4若，))((4032322nyxmyxyyxyxxnm11则（）A.B.C.D.E.以上结论都不正确340403403340双十字相乘法求m,n：11a58f11cm=5,n=–84038151解法2：将等式右端展开，比较系数求m,n：例5已知求的值016652422bbaaba42[题型3]代数式的求值及多项式的展开016651614)1612()44(22bbaa0)41()2(22ba412ba，22442ba例6已知数的小数部分是b,求的值142063712234bbbbb31420)6()3612(20637122234234bbbbbbbbb29)96()3612(222bbbbb29)3()6(222bbb2914)314()314(221015)914(2例7115321aaaa151533221087)1()1()1(xaxaxaxaaxx151533221087)12()1()2(xaxaxaxaaxx（1）令x=0：10a再令x=1：0153210aaaaa充分（2）令x=0：10a再令x=1：71532102aaaaa选A例8如果整除，则实数a=（）A.0B.–1C.2D.–1或2E.0或–11223axxax1x[题型4]整式的除法、因式定理、余式定理)()1(1223xhxaxxax令x=–1：0112aa022aa0)2)(1(aa例9如果除以的余式为则实数a、b=（）A.1,–3B.–3,1C.–2,3D.1,3E.–3,–122xxbaxxxxf232)(，12x)12()()2(2223xxhxxbaxxx)12()()2)(1(223xxhxxbaxxx令x=–1：)12(21ba2ba令x=2：)14(288ba52ba例10设f(x)为多项式，除以x–1余数为9；除以x–2余数为16；则f(x)除以(x–1)(x–2)的余式为（）A.7x+2B.7x+3C.7x+4D.7x+5E.2x+79)()1()(1xhxxf16)()2()(2xhxxf)()()2)(1()(baxxhxxxf9)1(f16)2(fbafbaf2)2()1(1629baba27ba第二节分式一.分式的基本性质分子和分母同乘以(或同除以)同一个不为零的式子,分式的值不变.用基本性质可将分式化为最简分式(既约分式)二.分式的运算(1).分式的加减法运算:通分母后,分母不变,分子相加减.(2).分式的乘除法运算:乘法运算:分子乘分子,分母乘分母.除法运算:化为乘法运算.[题型1]分式的恒定变形及运算【考点的典型例题】例1设，则的值为（）A.1B.2C.1/2D.2/3E.3072,0634zyxzyx22222275632zyxzyx0720634zyxzyx0216301268zyxzyxzx3zy2222222720961218zzzzzz22222275632zyxzyx13636例2设，则的值为（）A.0B.1C.–2D.2E.–30cbabaccabcba111111acbcbabcabaccabcba1111113aaccbb例3若则,51,4131accacbbcbaab，)(cabcababcA.B.C.D.E.21314161515,43caacbccbabba，511,411311accbba，611112)111(2cbacba，611111cbacabcababc111qp例4已知p,q为非零实数，则能确定的值(1)p+q=1(2))1(pqpB选)1)(1(1ppp）（)1()1(12ppp）（1)1()1(pppp不充分例5已知，则等于（）A.50B.49C.48D.47E.4631xx441xx9)1(2xx7122xx49)1(222xx47144xx例6已知x,y,z为不相等的实数，且则等于（）A.1B.2C.D.E.222zyx，xzzyyx111213141zxzyyxzxyzyx111111xzxzxyxyyzzyzyxzxzzxxyxyyxzyyz1222zyxzzxxyyxzyzyx例7方程有实根(1)实数a≠2(2)实数a≠–20111112xxxaC选[题型2]分式方程01)1()1(2xxxa0122xax12xax2a例8A.3B.–7C.3或–7D.3或7E.7）的解是（214127165123112222xxxxxxxx)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1xxxxxxxx127165123112222xxxxxxxx413131212111111xxxxxxxx411xx214442xx02142xx0)3)(7(xx第三节函数一、集合1.集合的区间表示{x|axb}可表示为：x∈(a,b){x|a≤xb}可表示为：x∈[a,b){x|ax≤b}可表示为：x∈(a,b]{x|a≤x≤b}可表示为：x∈[a,b]2.包含关系：（子集、真子集、相等、子集的个数）BxAxBABAABBA且例如：集合{a,b,c,d,e}子集的个数为：25子集的个数:含有n个元素的有限集合，共有个子集。n23.集合的运算：（交集、并集、补等）（1）交集：}{BxAxBA且（2）并集：}{BxAxBA或（3）补集：为全集}{IAxIxA4.德摩根运算律：BABABABA,CBACBACBACBA,),4[E.)0(D.),4()0(.C),4[)0(B.),4[]0(A.)(}.70|{}44|{.1，，，，则，，，已知集合例BARxxxBRxxxA}40|{RxxxBA，}40|{RxxxxBA，或}44|{RxxxxA，或}70|{RxxxxB，或}40|{RxxxxBABA，或,}{}1{.22BAabaaBbaA，且，，，，，已知集合例5E.4D.3.C2B.1A.)(||||ba则1112baabba，或1112baabab，1101baba，1||||ba无解13a二、指数函数xay)1,0(aa定义域：(–∞，+∞）图形：10a1a11)1(babyayxx，讨论两个指数函数的大小关系：1yxayxby)10(abbyayxx，1yxayxby结论：的大小，比较babyayxxxxxxbyayxbyayx00xyalog)1,0(aa定义域：(0，+∞）图形：10a1a三、对数函数11常用的对数运算律：NMNMaaalogloglogNMNMaaalogloglogMnManaloglog换底公式：aMMccalogloglog01log,1logaaaxxxxelnlog,lglog10)1(loglogbaxyxyba，讨论两个对数函数的大小关系：xyblogxyalog结论：的大小，比较loglogbax