人教版高数必修一第7讲：一次函数与二次函数(教师版)

1一次函数与二次函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征．2、运用一次函数与二次函数的性质解决有关问题。一、一次函数函数)0(kbkxy叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R1、一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；2、一次函数)0(kbkxy中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距；0k时，函数是增函数，0k时，函数是减函数；3、0b时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0b时，它既不是奇函数，也不是偶函数；二、二次函数函数)0(2acbxaxy叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；1、当b0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；2、当0a时，抛物线cbxaxy2开口向上，二次函数的单调减区间为ab2,，单调增区间为,2ab，值域为,442abac；3、当0a时，抛物线cbxaxy2开口向下，二次函数的单调增区间为ab2,，2单调减区间为,2ab，值域为abac44,2；特别提醒：1.二次函数的三种表示形式（1）一般式：)0(2acbxaxy．（2）顶点式：)0()(2ahmxay，其中),(hm为抛物线的顶点坐标．（3）两根式：)0())((21axxxxay，其中1x、2x是抛物线与x轴交点的横坐标．2.利用配方法求二次函数)0(2acbxaxy的对称轴方程为：x＝－ab2．3.若二次函数)0()(2acbxaxxf对应方程)(xf＝0的两根为1x、2x，那么函数)0()(2acbxaxxf图象的对称轴方程为：x＝221xx＝－ab2．4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．类型一一次函数的性质例1：已知函数y＝(2m－1)x＋1－3m，求当m为何值时：(1)这个函数为正比例函数？(2)这个函数为奇函数？(3)函数值y随x的增大而减小？解析：(1)由题意，得1－3m＝02m－1≠0，解得m＝13m≠12.∴m＝13.(2)∵函数为奇函数，3∴1－3m＝02m－1≠0∴m＝13.(3)由题意，得2m－10，∴m12.答案：（1）m＝13.（2）m＝13.(3)m12.练习1：已知一次函数y＝2x＋1，(1)当y≤3时，求x的范围；(2)当y∈[－3,3]时，求x的范围；(3)求图象与两坐标轴围成的三角形的面积．答案：(1)x≤1.(2)－2≤x≤1(3)S＝12×12×1＝14.练习2：求直线y＝－3x＋1和直线y＝2x＋6以及x轴围成的三角形的面积．答案：203类型二求一次函数的解析式例2：已知一次函数的图象经过点A(1,1)、B(－2,7)，求这个一次函数的解析式．解析：设y关于x的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，把A(1,1)、B(－2,7)的坐标分别代入y＝ax＋b，得1＝a＋b7＝－2a＋b，解得a＝－2b＝3.∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋3.答案：y＝－2x＋3.练习1：已知函数f(x)为一次函数，其图象如图，求f(x)的解析式．答案：f(x)＝－1.5x＋1.5.练习2：已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(52，0)，且与坐标轴围成的三角形面积为254，求该一次函数的解析式．答案：y＝2x－5或y＝－2x＋5.类型三二次函数的值域问题例3：(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)＝x2＋x－2，则函数f(x)在区间[－1,1)上()4A．最大值为0，最小值为－94B．最大值为0，最小值为－2C．最大值为0，无最小值D．无最大值，最小值为－94解析：f(x)＝x2＋x－2＝(x＋12)2－94，∴当x＝－12∈[－1,1)时，f(x)min＝－94，∵f(1)f(－1)，又x≠1，∴函数f(x)无最大值，故选D．答案：D练习1：(2014～2015学年度湖北部分重点中学高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝x2＋2x＋4，x∈[－2,2]，则f(x)的值域是________．答案：[3,12]练习2：(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)函数y＝x2－6x＋7的值域是()A．{y|y－2}B．{y|y－2}C．{y|y≥－2}D．{y|y≤－2}答案：C类型四含参数的二次函数在闭区间上最值的讨论例4：求f(x)＝x2－2ax－1在[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)的表达式．解析：f(x)＝(x－a)2－a2－1，x∈[0,2]，顶点是(a，－a2－1)，二次项系数为正，图象开口向上，对称轴x＝a.由f(x)在顶点左边(即x≤a)单调递减，在顶点右边(即x≥a)单调递增，所以f(x)图象的对称轴x＝a与闭区间[0,2]的位置关系(求两种最值)分4种情况求解．如图①～④中抛物线的实线部分．在图①中，当a0时，f(x)在[0,2]上单调递增，所以M(a)＝f(2)＝－4a＋3，m(a)＝f(0)＝－1.5在图②中，当0≤a2，且f(0)≤f(2)，即0≤a≤1时，f(x)在[a,2]上单调递增，所以M(a)＝f(2)＝－4a＋3，m(a)＝f(a)＝－a2－1.在图③中，0a≤2ff，即1a≤2时，f(x)在[0，a]上单调递减，最大值M(a)＝f(0)＝－1，最小值m(a)＝f(a)＝－a2－1.在图④中，当a2时，f(x)在[0,2]上单调递减，所以M(a)＝f(0)＝－1，m(a)＝f(2)＝－4a＋3.综上可知，f(x)在[0,2]上的最大值与最小值分别为M(a)＝－4a＋3a－1a1，m(a)＝－1a－a2－1a－4a＋3a.答案：M(a)＝－4a＋3a－1a，m(a)＝－1a－a2－1a－4a＋3a练习1：函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．答案：a＝－1，或a＝2练习2：若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.答案：61、一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m0，n0时，则直线经过()A．第二、四象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第一、四象限答案：A2、已知一次函数y＝(m－2)x＋m2－3m－2，它的图象在y轴上的截距为－4，则m的值为()A．－4B．2C．1D．2或1答案:C3、(2014～2015学年度河南洛阳市高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋4x＋5(0≤x5)的值域为()A．(0,5]B．[0,5]C．[5,9]D．(0,9]OyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyxOyx6答案：D4、若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(1,3)C．[1,3]D．[0,4]答案:C5、已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a0)，若f(m)0，则f(m＋1)的值为()A．正数B．负数C．零D．符号与a有关答案：A__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数y＝(2m－3)x＋(3n＋1)的图象经过第一、二、三象限，则m与n的取值是()A．m32，n－13B．m3，n－3C．m32，n－13D．m32，n13答案：A2．如果ab0，bc0，那么一次函数ax＋by＋c＝0的图象的大致形状是()答案：A3．(2014～2015学年度德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝2，则()A．f(0)f(1)f(3)B．f(3)f(1)f(0)C．f(3)f(1)＝f(0)D．f(0)f(1)＝f(3)答案：D4．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．[1，＋∞)B．[0,2]7C．(－∞，2]D．[1,2]答案：D5．已知二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，且f(x)＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2等于()A．0B．3C．6D．不确定答案：C能力提升6．一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是____________．答案：(2，73)7．若函数y＝(2m－9)·xm2－9m＋15是正比例函数，其图象经过第二、四象限，则m＝______.答案：28．若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－254，－4]，则m的取值范围是________．答案：[32，3]9.已知函数f(x)＝12(x－1)2＋n的定义域和值域都是区间[1，m]，求m、n的值．答案：m＝3n＝110.已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．答案：g(t)＝t2－2t－2tt2－4t＋2t.课程顾问签字：教学主管签字：