11、数的开方知识点与复习

1数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。（2）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a的平方根记作:a2或a。a叫做被开方（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。（6）算术平方根的定义：非负数a的正的平方根。（7）算术平方根表示：一个非负数a的平方根用符号表示为：“a”，读作：“根号a”，其中a叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。注：①算术平方根是非负数，具有非负数的性质；a(a≥0)是一个非负数,即a≥0;②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1;④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a)2=a(a≥0)；⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即2a=|a|=00aaaa⑥平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。要特别注意：a≠±a⑦平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同②个数不同：③表示方法不同：联系:①具有包含关系：②存在条件相同：③0的平方根和算术平方根都是0。知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）。如果x3=a，则x叫做a的立方根。记作：3ax,读作“三次根号a”。（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a0，则03a②一个负数有一个负的立方根，即若a0，则03a③0的立方根是0，即若a=0，则03a。注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0、1、-1.典型例题:2例1、x为何值时，下列代数式有意义。（1）x23（2）xx22（3）32x（4）131x（5）11xx（6）2)1(x例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是4，求a+2b的平方根。例3、若x、y都是实数，且233xxy，求x+3y的平方根。例4、如果babaM3是a+b+3的算术平方根，322babaN是a+2b的立方根，求M－N的立方根。例5．已知：074932aaba，求实数a,b的值。练习：1、填空：（1）0.25的平方根是;29的算术平方根是,16的平方根是。（2）2的相反数是，3的倒数是，13的绝对值是；（3）（3）81，2516=，2)3(=。（4）当x时,12x有意义；若xx有意义，则x；当______m时，m3有意义；当______m时，33m有意义（5）81的平方根是______，4的算术平方根是______，364的平方根是_______，64的立方根是。（6）若一个正数的平方根是12a和2a，则____a，这个正数是（7）如果有2是m的一个平方根,那么m的算术平方根是___________;（8）计算：22331(1)(1)=__________（9）已知0)3(122ba，则332ab；(a+2)2＋|b－1|＋c－3＝0，则a＋b＋c＝。（10）某种洗衣机的包装箱是长方形,其高为1.2m,体积为1.23m,底面是正方形,则该包装箱的底面边长为m.（11）已知△ABC的三边长分别为a、b、c,，且满足234(3)0abc,则此△ABC的周长=。（12）请你观察、思考下列计算过程：因为121112，所以11121，同样，因为123211112，所以11112321…由此猜想76543211234567898=________________．2、选择：（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）．3A、1B、0C、-1D、1，-1或0（2）下列各式中无意义的是()A、3B、3C、23D、23（3）下列说法正确的是()A、4的平方根是2B、-16的平方根是4C、实数a的平方根是aD、实数a的立方根是3a（4）有理数中，算术平方根最小的是（）A、1B、0C、0.1D、不存在（5）下列说法中，正确的是（）．A、27的立方根是3，记作27=3B、-25的算术平方根是5C、a的三次立方根是3aD、正数a的算术平方根是a（6）3a的值是（）．（A）是正数（B）是负数（C）是零（D）以上都可能（7）若227.0x，则x（）．（A）-0.7（B）±0.7（C）0.7（D）0.49（8）下列等式：①81161，②2233，③222，④3388⑤416，⑥24；正确的有（）个．（A）4（B）3（C）2（D）1（9）设x、y为实数，且554xxy，则yx的值是（）A、1B、9C、4D、5（10）下列说法中正确的是（）．A、4是8的算术平方根B、16的平方根是4C、6是6的平方根D、a没有平方根（11）下列各式中错误的是（）．A、6.036.0B、6.036.0C、2.144.1D、2.144.1（12）下列计算中正确的是（）．A、2323182B、134916916C、24312312D、aa2423、求下列各数的平方根和算术平方根：（1）425（2）24（3）82．4、计算：（1）256（2）44.1（3）2516（4）01.04（5）232（6）410（7）3125.0-1613+23)871(（8）)54(1)6()31(22（9）214182323835、解方程：（1）942x（2）112x（3）049121352x．（4）(x+3)3=27（5）8)12(3x（6）64(x-1)3+125=06、已知实数,,abc满足2112()022abbcc，求()abc的值.7、a、b在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(baba．8、已知2x-1的平方根是±3，3x+y-1的平方根是±4，求x+2y的平方根。9、已知：实数a、b满足条件0)2(12aba试求)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11bababaab的值．知识点三：实数基础知识1．无理数的定义:（）叫做无理数2．有理数与无理数的区别：有理数总可以用（）或（）表示；反过来，任何（）或（）也都是有理数。而无理数是（）小5数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成（），无理数不能化成（）。3.常见的无理数类型(1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···(2)看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。(3)有特定意义的数，如：π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。如：35,3。4．实数、概念：________和________统称为实数。5、分类按定义无限不循环小数小数有限小数或实数-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------按性质负实数正实数06、实数的有关性质⑴a与b互为相反数〈=〉a+b=0⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0⑷互为相反数的两个数的绝对值相等,即a=a⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.A.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系B.实数的大小比较：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。2.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。C.实数中的非负数及其性质非负数有如下三种形式⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0(4)、非负数有以下性质：⑴非负数有最小值零⑵有限个非负数之和仍然是非负数⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。6二、典型例题类型一．有关概念的识别例1．下面几个数：7231.0，1.010010001…，3064.0-，3π，722，5，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、81的平方根是±3B、1的立方根是±1C、1=±1D、5-是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵81=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，1=1，5-是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、211B、1.4C、2D、3【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为2，由圆的定义知|AO|=2，∴A表示数为2，故选C．【变式3】2210-39-3【答案】∵π=3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0∴110-3-9-310-39-310-39-322类型二．计算类型题例2．设a26，则下列结论正确的是（）A.0.55.4aB.5.50.5aC.0.65.5aD.5.60.6a举一反三：【变式1】（1）25的算术平方根是__________；平方根是__________.（2）-27立方根是__________.（3）412___________，169___________，3278___________.【答案】（1）25；25.（2）-3.（3）23，13，32【变式2】求下列各式中的7（1）252x（2）912x（3）643x【答案】（1）5x（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合例3.点A在数轴上表示的数为53，点B在数轴上表示的数为5，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A、B两点，54AB例4.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简bcababcac2举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．1-2B．2-1C．2-2D．2-2类型四．实数绝对值的应用例5、化简下列各式：(1)24.12(2)|π-3.14︱(3)32(4)|x-|x-3||(x≤3)(5)|x2+6x+10|举一反三：【变式1】化简：3-232223类型五．实数应用题例6、有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm