函数概念发展史综合

函数概念发展史1.早期函数概念——几何观念下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。2.十八世纪函数概念──代数观念下的函数1718年约翰•贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰•贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰•贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。3.十九世纪函数概念──对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。4.现代函数概念──集合论下的函数1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。正比例函数:正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．（另：中文“函数”名称的由来在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。）深入研究一次函数徐若翰在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，函数是表示代数上的幂（23,,,xxx…），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数1D(x)=0xx，为有理数，为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数(凡能用图形给出)都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的．傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即,2(21)40,0,1,2,,(21)2(1)4kxkyxkkkxk…但可以用单一的三角式表示为sinsinsin135xxxy…这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：xypi/4Opi三、科学定义的雏形1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g＝x^2，当x取一3，十3时y均等于9，y没有变化．又如常量函数y＝c，不论x如何变化y总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是f的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f和y的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x与y的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．四、函数概念的精确化1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y是x的函数．”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义，1D(x)=0xx，为有理数，为无理数就是一个函数了．五、函数定义域限制的取消前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f(x)的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y＝f(x)＝1/x!(x为正整数)也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：“函数y＝f(x)的自变量x可以不必取区间[a，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．六、近代函数定义为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一值，有完全确定的y与之对应，则称变量y是变量x的函数．建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．七、集合函数进人20世纪以后，在德国数学家康托创立的集合论基础上，人们对函数的认识又有深化，出现了“集函数”和“用集合定义的函数”，前者可这样表述：对于以集合为元素构成的集合P的每一个元素A．如果在另一个以集合为元素构成的集合Q中有完全确定的元素B与之对应，那么集合Q叫做集合P的集合函数．显然，当P、Q中的元素A、B是由单元素集构成时，该定义与维布伦的函数定义相吻合．我们说勒贝格(Lebesgue)测度mE是集函数，是把可测集类n视为这定义中P，非负实数(包括十∞)的单元素集构成的集为这定义中的Q．当