角平分线的性质——公开课

12.3角的平分线的性质思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说明它的道理吗？ADBCE在△ADC和△ABC中AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ABC(SSS)∴∠DAC=∠BAC∴AE平分∠DAB根据角平分器平分角的方法，告诉了我们一种作已知角的平分线的方法，你能发现吗？关键作法：1.在角的两边截取线段AD=AB；2.作线段DC=BCADBC典例分析例1.已知：如图，∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N；3.作射线OC.OABCMN2.分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；OABOAB探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？角的平分线上的点到角的两边的距离相等。猜想角平分线的性质：验证猜想证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E(3)验证猜想1=2=PDOPEOPDOPEOOPOP在和中求证:PD=PE角平分线上的点到角的两边的距离相等AOBPEDPD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD=PE.用符号表示为：已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE广东省怀集中学吴秀青一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1）明确命题中的和；（2）根据题意，画出，并用表示已知和求证.（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出.已知求证图形数学符号证明过程1、判断题(1)∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD=DC()ADCB角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×(2)∵BD⊥AB,DC⊥AC,垂足为D,C,∴PD=PE.()×尝试应用尝试应用02.90,RtABCBADBACDAC如图，在中，为的平分线，BD=3cm,则点到边的距离为_____想一想：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺1：20000）ＳＯ公路铁路已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．OCB1A2PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌Rt△PDO(HL)∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上总结：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上求证：点P在∠AOB的平分线上：如图，ABC的角平分线BM,CN相交于点P.求证：点P到三边AB,BC,CA例的距离相等丰收乐园达标检测：=DPOEPO1.如右图，12，PDOA,PEOB,垂足分别为点D,E,则下列结论中错误的是（）A.OD=OEB.PD=PEC.=D.PD=OD3.到三角形三条边的距离相等的点是（）A.三条中线的交点B.三条高线的中点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点,50,____.mnmmnm2.如图一个加油站恰好位于两天公路所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是则它到公路的距离是04.90,=5,3,ABCACBADBACBCcmBDcmDAB在中，是的角平分线，若则点到的距离为__________.4._______.BCOCAOABCABO如图，的三边AB、BC、CA的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为O，则S:S:S变式1：若AB=9cm，则△ADB的面积是_______.____ABDACD变式.若AB:AC=9:8,那么S:S2=VV,,,ADABCDEABEDFACFEFADGADEF如图，是的角平分线，于点于点连接交于点则与的位置关系是什么？并证明^^V,,,10,ABCACBCDEABEABcmDBE0变式2:如图，在中，C=90若垂足为若则的周长等于（）A.10cmB.8cmC.15cmD.20cmABCAD2.如图，在中，是它的角平分线，,DEAB,DFAC,垂足分别为E,F.且BD=CD求证EB=FC^^V巩固练习：例.如图,已知BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB.求证:D在∠BAC的平分线上.证明:连接AD()()()()DBEDCFBEDCFDBDECDFBDCDDBEDCFAAS在与中已证对顶角已知090,CFDBEDABCEACBFDFDEBACADDFDEACDFABDE平分,,变式1：若AC=8cm，则△ADC的面积是_______.____ABDACD变式.若AB:AC=9:8,那么S:S2=VV角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。BADOPEC定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离。定理的作用：证明线段相等。已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌Rt△PDO(HL)∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.∵PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD=PE∴点P在∠AOB的平分线上