初三数学-相似三角形的判定

1【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形的判定二.重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。三.知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。（二）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。③有两个角对应相等的两个三角形相似。④三条边对应成比例的两个三角形相似。⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【典型例题】例1.如图，△ABC中，∠A=60，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC。例2.如图，过△ABC的顶点B和C，分别作AB、AC的垂线BD、CD，使交于点D，过C作CE⊥AD交AB于E，交AD于F求证：△ACE∽△ABC例3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB例4.如图，点E是正方形ABCD的边AB上一点，且AE：AB=1：4，F为边AD上一点，问：当F在AD上的什么位置时，△AEF∽△CDF。2【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.判断下列各命题的真假（真命题打“T”，否则打“F”）（1）若一条直线截三角形的两边所得的三角形与原三角形相似，则这条直线平行于三角形的第三边（）（2）有一个锐角相等的两个等腰三角形必定相似（）（3）三组边分别平行的两个三角形必定相似（）（4）有一个锐角相等的两个直角三角形必定相似（）（5）一个顶角为40的等腰三角形和一个底角为70的等腰三角形相似（）（6）四个角对应相等的两个梯形必定相似（）（7）所有的菱形均相似（）（8）所有的正方形均相似（）2.△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，则与△ABC相似而不全等的三角形的个数是（）A.2B.3C.4D.53.已知△ABC∽△CBA，相似比为4，△CBA∽△CBA，相似比为3，试问：△CBA与△ABC是否相似？若它们相似，则相似比为多少？4.如图，若∠EBC=∠ABD，∠ECB=∠DAB求证：△ABC∽△DBE。5.过△ABC三条角平分线的交点I，作AI的垂线与AB、AC分别交于D、E，求证：△BID∽△IEC。6.如图，平行四边形ABCD中，AD=10，DC=6，E为AB中点，F有BC上，则BF长为多少时，使得△DCF∽△DAE？3DAPBQCEFBDCAADS1S3S2BCO【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形的性质二.教学重难点：应用相似三角形的性质进行有关的计算与证明是本周学习的重点。应用相似三角形的知识时，由于知识的综合程度较高，对分析思维的能力有一定的要求，所以是学习的难点所在。三.知识回顾：（一）相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2.相似三角形对应的高、中线和对应的角平分线以及周长之比都等于相似比。3.相似三角形的面积之比等于相似比的平方。（二）与相似三角形有关的辅助线主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线。【典型例题】例1.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B、C是垂足，AC、BD交于P。过P作PQ⊥BC于Q。求证：∠AQP=∠PQD例2.如图，△ACB中，∠ACB=90°，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F，求证：BF=CD。例3.如图，梯形ABCD中，AD//CB，对角线AC、BD相交于点O，设梯形ABCD的面积为S，△AOD、△BOC、△AOB的面积分别为321SSS和、。【模拟试题】（答题时间：25分钟）1.△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连DE，则△ADE与△ABC的周长比为_______________；它们的面积比为_______________。4DECFABADPBQCRCADBEF2.两个相似三角形的面积比为9：4，若较大三角形的一个内角的平分线长6cm，则另一个三角形对应角的平分线长为_______________。3.如图，平行四边形ABCD中，E在CD上，DE：CE=2：3，连AE，BE，BD，且AE、BD相交于点F，则ABFEBFDEFS:S:S为（）A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：254.正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且CF：BC=1：4。求证：CEADEFAE。5.如图，平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R，求证：PRPQAP2。如图，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC。（1）求证：AEBFACBC33（2）若AE=8，BF=1，求DE、DF和AB的长。解析:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·BD，故CD4=AD2·BD2.又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC.∴CD4=AE·BF·AC·BC.又∵AC·BC=AB·CD，5ABDCEF∴CD4=AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB=CD3.例1.如图，△ABC中，∠BAC=Rt∠，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E。求证：CFAFAEDE。6【试题答案】1.1：21：42.4cm3.A4.由21ADCEDECF，∠C=∠D可知△CEF∽△DAE，∴CEADEFAE。5.提示：由△APB∽△DPR，得PDBPPRAP①由△BPQ∽△DAP，得PDBPAPPQ②∴由①、②知APPQPRAP，即PRPQAP26.成立，只需证明△ABD∽△ACB即可。7.不会。提示：不妨设AB=a，CD=b，BD=x，且过P作PE⊥BD于E，易证△ABD∽△PED。∴xEDaPE同理，xBEbPE∴1xxxEDBEbPEaPE∴baabPE为定值。