人教版九年级数学《二次函数》知识点梳理与总结(超经典)---副本

《二次函数》单元知识梳理与总结一、二次函数的概念1、定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2、注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数2axy是最简单的二次函数。（3）二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）3、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴：直线x=ab2顶点坐标：(abacab4422，)（2）顶点式：khxay2（a≠0），对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,对称轴:直线x=22x1x(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).二、二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.三、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxay当0a时开口向下hx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)注：常用性质：1、增减性：当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；2、最大或最小值：当a0时，函数有最小值，并且当x=ab2，y最小＝abac442当a0时，函数有最大值，并且当x=ab2，y最大＝abac442四、.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。①a的符号决定抛物线的开口方向②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.五、抛物线cbxaxy2中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当a0时，函数开口方向向下；a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；当a越小时，开口越大；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=ab2）左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。注意点：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：注意点：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.六、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式――――――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位―――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位七、二次函数最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由a的符号确定。1、当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=ab2，y最小＝abac4422、当a时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=ab2，y最大＝abac442八、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.九、抛物线cbxaxy2（0a）与x轴的交点个数2axy2hxaykaxy2khxay2与x轴交点，令y＝0，则有02cbxax即解一元二次方程①当△0时，方程02cbxax有两个不相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴有两个不同的交点。②当△＝0时，方程02cbxax有两个相等的实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴有一个交点。③当△0时，方程02cbxax没有实数根，即抛物线cbxaxy2与x轴没有交点。十、抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,十一、直线与抛物线的交点问题（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.