FinancialDerivatives-MF04-期货定价数理基础及持有

衍生品定价的数理基础马卫锋同济大学经济与管理学院马卫锋同济大学上海期货研究院数理金融基础指数函数对数函数泰勒级数期望与方差©马卫锋同济大学上海期货研究院©马卫锋同济大学上海期货研究院ee=2.71828……为什么用如此古怪的数字？数学性质：优选的底，方便计算；•的导数是其自身经济意义：复利的一种具体计算过程的结果+−+++++=)!1(1!31!21!111ne1lim()lim(1)mmmefmm→∞→∞≡=+tettdeedt=2301126!ixixxxxei∞==++++=∑©马卫锋同济大学上海期货研究院exp(x)02468101214-2-1.5-1-0.500.511.522.53©马卫锋同济大学上海期货研究院e的经济意义初始1元钱，100%的年利率，年末的价值？计一次息计两次息类推，一般化，连续复利经济意义：1元钱按年利率100%连续计算复利，到年末的价值。11(1)21V====初始本金(1+利息率)1(1+100%)(1+)1lim()lim(1)mmmVmem→∞→∞=+=21(2)2V==1(1+50%)(1+50%)(1+)31(3)3V=(1+)41(4)4V=(1+)1()mVmm=(1+)爱因斯坦称：“复利是世界第八大奇迹，其威力甚至超过原子弹。”©马卫锋同济大学上海期货研究院e的经济意义现实问题多年复利计算——t年末本金不是1，为A——名义利率不是100%，为r（比如r=5%）。tetAe()mtrVmAm=(1+)1()rtrtmrwrVmAAmw==1+1+mwr≡变形并令lim()rtmVVmAe→∞≡=©马卫锋同济大学上海期货研究院e的经济意义期末价值年数名义利率本金（元）t100%AtAetrArtAet100%1te1100%1ee与连续复利计算©马卫锋同济大学上海期货研究院复利与连续复利的关系现实中不是连续复利如何换算——连续复利的利率——每年计m次复利的利率1cmtRtmRAeAm=+cRmR1cmRmRem=+ln1mcRRmm=+©马卫锋同济大学上海期货研究院©马卫锋同济大学上海期货研究院自然对数ln以e为底的对数lnxex=lnxex=1lndxdxx=©马卫锋同济大学上海期货研究院使用对数的好处数据的统计特性方便处理收益率波动率对称©马卫锋同济大学上海期货研究院微分记函数，函数在x点的斜率为用数学定义斜率为这种求斜率的方法称为“微分法”。这个函数的斜率通常也称为“导数”（derivative），与衍生品的英文单词相同。上述斜率如果再次被微分就是二阶导数dfdx()fx()()limxdffxxfxdxxδδ→∞+−=22dfdx©马卫锋同济大学上海期货研究院泰勒级数对于n次多项式函数可以展开为麦克劳林级数（在x=0附近展开）可以展开为泰勒级数（在任一点x=x0附近展开）对于给定任意函数，可在点x=x0的邻域展开如下（n为任意选定的正整数）230123()nnfxaaxaxaxax=+++++()23(0)(0)(0)(0)(0)()0!1!2!3!!nnffffffxxxxxn′′′′′′=+++++()20000000()()()()()()()()0!1!2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn′′′=+−+−++−()xφ()20000000()()()()()()()()0!1!2!!nnnnnxxxxxxxxxxxRPRnφφφφφ′′′=+−+−++−+≡+其中Pn表示括号内的前(n=1)项n次多项式，Rn为余项。©马卫锋同济大学上海期货研究院泰勒级数的运用——曲线逼近在x0=1附近展开如下二次函数，取n=1将其展开为一次多项式，即求出该二次函数的线性近似，比如出现余项。根据泰勒定理，展开如下2()52xxxφ=++0()(1)8xφφ==0()(1)4xφφ′′==0001()()()()xxxxxRφφφ′=+−+该线性近似是曲线在(1,8)的切线。在该点余项（误差）R1为零，在其它点R1不为零，越远离误差越大。©马卫锋同济大学上海期货研究院泰勒级数的运用——曲线逼近设曲线的函数为f(x)，左边点x，右边点x+δxf(x+δx)的近似估计为切线毕竟不是曲线进一步逼近(二次逼近)更进一步……()()()()()()0!1!fxfxdffxxxxxfxxxdxδδδ′+≈++−=+()()dffxxfxdxxδδ+−≈2221()()()()2dfdffxxfxxxxxdxdxδδδ+≈++11()()()!iiiidffxxfxxxidxδδ∞=+≈+∑©马卫锋同济大学上海期货研究院泰勒级数的运用——期权价值的逼近设期权价值为V（函数），自变量之一是S，标的资产价格标的资产价格微小变动δS（代替δx）；期权关于S的一阶导数称为Delta，二阶导数称为Gamma；期权价值V(S,t)，不只一个自变量，涉及偏微分泰勒级数应用到期权价值上，有0(,)(,)limSVVSStfStdSSδδδ→∂+−=0(,)(,)limtVVSttfStdttδδδ→∂+−=2221(,(,)2VVVVSSttVSttSStSSδδδδδ∂∂∂++≈++++∂∂∂©马卫锋同济大学上海期货研究院均值、方差期望（均值）定义式性质方差定义式性质标准差[]1()NiiiEXxPXx===∑[][]EcXcEcX=[][][]EXYEXEY+=+[][][]XYEXYEXEY=若与相互独立,则[]()2Var()XEXEX=−2Var()Var()cXcX=[][][]VarVarVarXYXYXY+=+若与相互独立,则()Var()XXσ=©马卫锋同济大学上海期货研究院概率分布（概率密度函数）抛硬币（正面赢1元，反面输1元）结果结果概率©马卫锋同济大学上海期货研究院1元钱彩票损益的概率分布©马卫锋同济大学上海期货研究院连续分布©马卫锋同济大学上海期货研究院案例：KidderPeabody公司的低级错误交易员JosephJett的“聪明”现货市场：买入零息债券（strip而成）远期市场：卖出发现了印钞机Kidder公司的愚蠢计算机系统显示Jett的交易盈利1亿美元；奖金实际亏损3.5亿美元©马卫锋同济大学上海期货研究院假设与符号假定对于某些市场参与者而言，以下假设全部成立市场参与者进行交易时没有交易费用市场参与者所有的净交易利润使用同一税率市场参与者能够以相同的无风险利率借入和借出资金当套利机会出现时，市场参与者会进行套利活动对“假设”的认识现实性合理性©马卫锋同济大学上海期货研究院使用如下符号——远期或期货合约的期限（以年计）；——远期或期货合约标的资产的当前价格；——远期或期货合约的当前价格；——无风险利率（期限T，连续复利计算）T0S0Fr©马卫锋同济大学上海期货研究院不支付收益资产的远期价格最简单——不支付收益的投资资产实例：不分红的股票的远期合约，3个月到期；假设当前股价为40元，3个月期无风险利率为5%以上远期合约值多少钱，即价格？如何分析？©马卫锋同济大学上海期货研究院分析：无套利均衡这意味着什么？该远期的价格应该是什么？实现盈利1.5实现盈利2.5以39元的价格买入资产[-39]投资回收[+40.5]以43元的价格卖出资产[+43]支付贷款本金及利息[-40.5]3个月以后的操作3个月以后的操作买空一单位资产获取40元[+40]以5%的利率投资3个月[-40]买入远期合约以5%借入40元[+40]购买1单位资产[-40]卖出远期合约当前的操作当前的操作远期价格=39远期价格=430.050.254040.5e×≈©马卫锋同济大学上海期货研究院一般化的远期价格公式使用如下符号——远期或期货合约的期限（以年计）；——远期或期货合约标的资产的当前价格；——远期或期货合约的当前价格；——无风险利率（期限T，连续复利计算）不支付收益的投资资产的远期合约现价为数学上看远期价格现货（即期）价格经济上的含义？T0S0Fr00rTFSe=©马卫锋同济大学上海期货研究院如果不允许买空，公式是否成立？只要足够多的投资者拥有这种资产，其目的在于投资如果远期价格太低，投资者会卖资产买远期公式仍然成立例子：黄金（假设无存储费用与中间收入）假设𝑭𝑭𝟎𝟎𝑺𝑺𝟎𝟎𝒆𝒆𝒓𝒓𝒓𝒓•按利率r借入数量为𝑺𝑺𝟎𝟎的资金，期限为T•买入1单位黄金•建立规模为1单位黄金的黄金期货空头头寸©换种思考方式考虑这样的策略买入1单位资产（价格为𝑺𝑺𝟎𝟎）签远期合同：𝒓𝒓时刻以𝑭𝑭𝟎𝟎的价格卖出该资产策略分析成本•𝑺𝑺𝟎𝟎收益•𝑭𝑭𝟎𝟎这种策略能赚钱吗？𝑺𝑺𝟎𝟎=𝑭𝑭𝟎𝟎𝒆𝒆−𝒓𝒓𝒓𝒓;𝑭𝑭𝟎𝟎=𝑺𝑺𝟎𝟎𝒆𝒆𝒓𝒓𝒓𝒓马卫锋同济大学上海期货研究院0时刻T时刻©马卫锋同济大学上海期货研究院已知现金收入证券的远期定价实例：付息债券的远期合约，9个月到期；当前债券价格为90元；4个月后收到4元息票；4个月期和9个月期无风险利率分别为每年3%和每年4%。以上远期价格？如何分析？©马卫锋同济大学上海期货研究院分析：无套利均衡0.034/1243.96e−×=盈利9个月后4个月后当前F01.662.34以87元的价格买入资产[-87]9个月期投资收回[+88.66]以91元的价格卖出资产[+91]偿还第二个贷款[-88.66]4个月期投资收回4元[+4]支付资产的收益4元[-4]收入债券付息4元[+4]偿还第一个贷款本息[-4]卖空1单位资产[+90]3.96投资4个月；86.04投资9个月[-90]买入远期合约借入90元：3.96借4个月，86.04借9个月[+90]买入1单位资产[-90]卖出远期合约远期价格=87远期价格=910.049/1286.0488.66e×=©马卫锋同济大学上海期货研究院支付现金收入证券的远期价格使用如下符号——远期或期货合约的期限（以年计）；——远期或期货合约标的资产的当前价格；——远期或期货合约的当前价格；——无风险利率（期限T，连续复利计算）——现金收入的现值支付现金收益的投资资产的远期价格为T0S0Fr00()rTFSIe=−I©马卫锋同济大学上海期货研究院已知收益率证券的远期价格使用如下符号——远期或期货合约的期限（以年计）；——远期或期货合约标的资产的当前价格；——远期或期货合约的当前价格；——无风险利率（期限T，连续复利计算）——资产的年收益率（期限T，连续复利计算）支付现金收益的投资资产的远期价格为为什么？如何得出？T0S0Fr()00rqTFSe−=q©马卫锋同济大学上海期货研究院无风险套利：净投资0元，创造出正的现金流。盈利到期之后当前F0S0e(r-q)T-F0F0-S0e(r-q)T以F0的价格买入资产[-F0]投资收回[+S0e-qTerT]以F0的价格卖出资产[+F0]偿还贷款[-S0e-qTerT]卖空S0e-qT单位资产[+S0e-qT]卖空所得进行投资[-S0e-qT]买入远期合约借入S0e-qT[+S0e-qT]买入S0e-qT单位资产[-S0e-qT]卖出远期合约远期价格太低远期价格太高()00rqTFSe−=©马卫锋同济大学上海期货研究院远期合约本身的价值回答的问题：以前的合约是否之前？符号：K——合约中约定的履约价格（以前的远期价格）F0——当前的远期价格f——远期合约今天的价值合约多头的价值合约空头的价值0()rTfFKe−=−0()rTfKFe−=−©马卫锋同济大学上海期货研究院期货价格和远期价格相等吗？两者的