因素模型与套利定价理论

CFRC中国财政金融政策研究中心0第四章因素模型与套利定价理论谭松涛中国人民大学财政金融学院2012年6月15日CFRC中国财政金融政策研究中心回顾CAPM模型从经济含义角度的推导Beta的含义证券市场线（与CAL、CML的比较）Zero－BetaCAPM与多要素CAPM（了解）1CFRC中国财政金融政策研究中心单因素模型的提出在估算中计算量最大的部分是协方差的计算经验表明，股票收益之间的协方差一般是正的，这是因为，相同的经济力量会影响着许多公司的命运。例如：经济周期利率技术进步劳动力成本原材料……如果这些变量发生了非预期的变化，则整个股票市场的收益率也会相应地发生非预期变化。2CFRC中国财政金融政策研究中心单因素模型的提出如果我们能够把所有公司外部的因素组成一个宏观经济指示器，假定它影响整个证券市场。同时，我们进一步假定除了这个通常的影响之外，股票收益的所有剩余的不确定性都是公司特有的。这就意味着，证券之间的相关性除了通常的经济因素之外，没有其他来源了。3CFRC中国财政金融政策研究中心单因素模型的提出而内部特有的因素对公司股价的影响的期望值是零，即随着投资的分散化，这类因素的影响是逐渐减少的。在上述假设下，Sharpe提出了单因素模型在这一模型中，是证券持有期期初的期望收益；是在证券持有期间非预期的宏观事件对证券收益的影响；是非预期的公司特有事件的影响。其中，和的期望值都为零，原因就在于他们都是非预期事件的影响，根据定义其平均值必然为零。这样以来，我们就简要地将宏观经济因素与公司特有因素区分开来。4()(1)iiiirErme()iErimieimieCFRC中国财政金融政策研究中心单因素模型的提出我们还可以得出进一步的结论，即不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度。因此，如果我们记宏观因素的不可预测成分为F，记证券i对宏观经济事件的敏感度为，则证券i受宏观因素的影响为。这样以来，（1）式就变为：该式被称为股票收益的单因素模型。5iiimF()(2)iiiirErFeCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的提出然而，上述模型中存在一个问题，那就是影响股票价格的宏观因素是不确定的，而且各宏观因素的权重也无法确定。为了解决这一问题，Sharpe采用一个股票指数代替单因素模型中的宏观影响因素。这就有了单指数模型：股票收益公式为6(3)iiiMiRReCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的提出其中，是股票超过无风险收益的超额收益（也可以看做是风险溢价）；是当市场超额收益率为零时的期望收益；是股票i对宏观因素的敏感程度；是市场收益超过无风险收益的超额部分合在一起的含义是影响股票超额收益的宏观因素，也称作系统因素；是影响股票超额收益的公司特有因素，也称作非系统因素。7iifRrriiMMfRrriMRieCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的提出是当市场超额收益率为零时的期望收益，它的值通常很小，也很稳定，一定时期可以看成是一个常量。是影响股票超额收益的公司特有因素，是非系统因素，是不确定的，其期望值为零。真正影响股票期望收益的是要估计的只有股票收益对市场收益敏感程度。由于是股票超过无风险收益的超额收益，投资者对其的要求与无风险收益的水平有关。8iieiMRiiRCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的意义减少了估算工作量。股票i的收益率的方差为：非系统风险独立于系统风险，因此和的协方差为0。是每个公司特有的，它们之间不相关。而两个股票超额收益率与的协方差，都与市场因素有关，所以，与的协方差为92222()iiMie2(,)(,)ijiMjMijMCovRRCovRRMRieieiRjRMRiRjRCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的意义现在需要的估算量为：n个期望超额收益的估计，n个公司的估计，n个公司特有方差的估计和1个宏观经济因素的方差的估计。现在的估算量是3n+1。再看沪深1400种股票的例子，现在只需要估算4201个数据了。10()iERi2()ie2MCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的几何表达——证券特征线单指数模型可以表达为一条截距为，斜率为的斜线。坐标系的横轴为市场超额收益，纵轴为股票i的超额收益。实际中，这条斜线要利用具体数据回归得出，称作证券特征线。11ii()iErMRi证券特征线CFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型与CAPM模型的关系按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的协方差公式为上式所以成立，是因为由于是常数，它与所有变量的协方差都是零，且由于公司特有的非系统风险独立于系统风险，因此由此可推导出122(,)(,)(,)(,)iMiMiMiMMiMiMCovRRCovReRCovRRCoveR(,)0iMCoveR2(,)iiMMCovRRiCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型与CAPM模型的关系在CAPM模型中，我们同样有成立。因此，单指数模型与CAPM模型的贝塔含义是相同的。CAPM模型是单指数模型的一个特例，我们对两边取期望，有与CAPM模型相比较，可以发现，CAPM模型是所有股票阿尔法的期望值为零的取期望的单指数模型。132(,)iiMMCovRRiiiMiRRe()[()]ifiiMfErrERrCFRC中国财政金融政策研究中心单指数模型的局限性这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不确定性来源是有距离的。譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济的一些事件。14CFRC中国财政金融政策研究中心多因素模型多因素模型的提出系统风险包括多种因素不同的因素对不同的股票的影响力是不同的两因素分析模型假定两个系统风险是经济周期（GDP）和利率（IR）的不确定性。单指数模型扩展成了两因素模型：例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的分析，单指数模型会显得较无力。15tGDPtIPttRGDPIPeCFRC中国财政金融政策研究中心多因素模型实际上影响股票收益的因素还不止两个。Fama&French(1993,JFE)的3因素模型提出的影响股价的三个因素是公司的规模、帐面价值/市值比和市场指数。Fama&French(1996,JF)提出，有三个系统性的因素影响股票收益，分别是（1）市场指数；（2）小股票比大股票多的资产组合收益;（3）高市场比率股票比低市场比率股票多的资产组合收益。即16itiiMMtiSMBtiHMLttRRSMBHMLeCFRC中国财政金融政策研究中心多因素模型Chen、RollandRoss(1986,JB)的5因素模型提出的影响股票收益的5因素为行业生产增长率IP；预期的通货膨胀率EI；非预期的通货膨胀率UI；长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG长期政府债券对短期国库券的超额收益GB：17itiiIPtiEItiUItiCGtiGBtitRIPEIUICGGBeCFRC中国财政金融政策研究中心套利定价理论（ArbitragePricingTheory）RossS.A.,1976,“TheArbitrageTheoryofCapitalAssetsPricing,”JournalofEconomicTheory,Dec.pp.343-362.StephenRoss于1976年提出了套利定价理论，他利用套利原理推导出市场均衡状态下资本资产定价关系，即APT。由于APT与CAPM有着一样的解释功能，而且涉及较少的假设条件，与现实更贴近，因此受到很多的关注。18CFRC中国财政金融政策研究中心套利套利粗略地讲就是指投资者以零投资，在不承担任何风险的情况下，获取正收益的投资行为。套利机会可以分为两类：第一类套利是指投资组合在期初有严格负的价格，但是却能在未来提供非负的收益。第二类套利是指投资组合在期初的价格为零，但是在未来却能获得非负且不等于零的收益19CFRC中国财政金融政策研究中心套利套利的一个简单例子假设IBM的股票既在纽约证券交易所交易，又在纳斯达克交易。如果，在纽约交易所IBM的股票卖60美元，在纳斯达克卖58美元。那么，你就可以同时在纳斯达克买进股票，在纽约卖出股票。这样，在没有资金投入的情况下，你就可以获得每股2美元的收益。20CFRC中国财政金融政策研究中心不同证券之间的套利机会例：设有A、B、C、D四支股票，它们所面临的宏观经济形势有四种可能，各股票在四种宏观经济形势下的收益率状况及各种宏观经济形势出现的概率如下表所示：21高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率概率（p）0.250.250.250.25A-20402060B03070-20C90-10-2070D15152336CFRC中国财政金融政策研究中心不同证券之间的套利机会不同证券的价格如下：22股票现价期望收益率（％）标准差（％）相关系数ABCDA102529.581-0.15-0.290.68B102033.91-0.151-0.87-0.38C1032.548.15-0.29-0.8710.22D1022.258.580.68-0.380.221CFRC中国财政金融政策研究中心不同证券之间的套利机会不同证券之间的套利机会将股票A、B、C按等权重构成投资组合T，将投资组合T的可能未来收益率与股票D的可能未来收益率对比:23高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率T23.332023.3336.67D15152336在任何一种宏观环境出现时，投资组合T的收益率都高于股票D。CFRC中国财政金融政策研究中心不同证券之间的套利机会零投资组合的收益状态24股票投资额（万元）高通胀低通胀高利率低利率高利率低利率A100-20402060B10003070-20C10090-10-2070D-300-45-45-69-108零投资组合0251512卖空D无论投资者多厌恶风险，都会利用这种优势进行套利。CFRC中国财政金融政策研究中心套利的几何意义以两个证券的市场为例，从几何形态上对套利进行解释：假设市场中存在两个证券1和2，它们在期初的价格分别为p1和p2。在两个证券构成的平面内，该价格就对应着平面内的一点。2512(,)ppp证券1证券2OQ如果该平面同时表示投资者在两个证券的投资金额，那么，很容易就可以得知，在通过原点并与价格向量OP相垂直（正交）的直线OQ上的点代表的都是价格等于零的投资组合；该直线右侧的点代表都是价格水平大于零的投资组合。该直线左侧的点代表都是价格水平小于零的投资组合。CFRC中国财政金融政策研究中心套利的几何意义另一方面，我们假设期末时可能发生的经济状况有三种，在每种经济状况下，两个证券的收益组合如图。261x2x3x证券1证券2AOB如果该平面同时表示投资者在两个证券上的投资金额，那么，过原点与向量垂直的直线OA的右侧对应的点代表所有在第一种状态下获得正收益的投资组合CFRC中国财政金融政策研究中心套利的几何意义对应着每个状态我们都能画出一条垂线，所有垂线右侧区域相交的部分就对应着在三种状态下收益均大于零的投资组合；折线AOB上的点则对应着在某些状态下收益为零，某些状态下收益为正的投资组合；AOB之外区域上的点所对应的投资组合总会在某些状态下出现负的收益。将以上两个图合并成一张图。给定每个证券在未来不同状态下的收益，当价格向量的方向发生变化时，阴影区域与扇形区域的相对位置就可能出现三种可能：27CFRC中国财政金融政策研究