混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价

，（，201620）：，Black-Scholes。：；；：O211.6ＭＲ（２０００）ＳｕｂｊｅｃｔＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：60G15；60H05：Ａ：１６７２－０６８７（２００8）０4－０００4－０7（Ω，F，μ），。0H1，HurstH{BH（t），t≥0}BH（0）=0，E[BH（t）]=0，E[BH（t）BH（s）]=12（t2H+s2H-|t-s|2H）t，s∈R+H=12，BH（t）。（MixedfractionalBrownianmotion），。X（t，s）=σBH1（t）+εBH2（s）s，t≥0BH1，BH2H1H2。，BHWZ（t）=BH1（t）+εW（t）t≥0（1）ε。[1]、[2]。H=12，Zσ2+ε2W姨；H≠12，；0H≤34，σBtH+εWt；，H34ε0ZεWt。，Bender[3]：，[4]，，。。[5]。（1）dX（t）=μX（t）dt+σX（t）dBH（t）+εX（t）dW（t）（2）t0乙X（s）dBH（s）Wich-Ito赞，[3]、[6]、[7]。（2），———————————————————[]２００8－06－12[]（10571025）；（106076）[]（１９84－），，，，：。２54（）Ｖｏｌ．２5Ｎｏ．4２００812ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＳｕｚｈｏｕ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Dec．２００84X（t）=X（0）expσBH（t）+εW（t）+μt-12σ2t2H-12ε222t（3）1，。10tT，λ，μ，E軒teλBH（T）+μW（T）軒軒=eλBH（T）+μW（T）+λ22（T2H-t2H）+μ22（T-t）（4）E軒t[·]μ[3，6，8]。dX（t）=λX（t）dBH（t）+μX（t）dW（t），X（0）=1。X（t）=expσBH（t）+μW（t）-12σ2t2H-12μ222tE軒t[X（T）]=X（t）。E軒teσBH（T）+μW（T）-12σ2T2H-12μ2T軒軒=eσBH（t）+μW（t）-12σ2T2H-12μ2tE軒teλBH（T）+μW（T）軒軒=eλBH（t）+μW（t）+λ22（T2H-t2H）+μ22（T-t）。2fE[f（BH（T）]∞，0≤t≤TE軒t[f（λBH（T）+μW（T））]=R乙12π[λ2（T2H-t2H）+μ2（T-t）]姨exp-（x-（λBH（t）+μW（t））22[λ2（T2H-t2H）+μ2（T-t）]姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨f（x）dx（5）f赞f，f赞（ξ）=R乙eixξf（x）dx，f（x）=12πR乙eixξf赞（ξ）dξ，f（λBH（T）+μW（T））=12πR乙ei（λBH（T）+μW（T））ξf赞（ξ）dξ，λ，μ，E軒t[f（dBH（T）+μW（T））]=E軒t12πR乙ei（λBH（T）+μW（T））ξf赞（ξ）d軒軒ξ=12πR乙Etei（λBH（T）+μW（T））ξ軒軒f赞（ξ）dξ=12πR乙eiξ（λBH（t）+μW（t））-12ξ2λ2（T2H-t2H）-12ξ2μ2（T-t）f赞（ξ）dξ=12πR乙eiξ（λBH（t）+μW（t））e-12ξ2λ2（T2H-t2H）-12ξ2μ2（T-t）f赞（ξ）dξ=h（λBH（t）+μW（t））he-12ξ2λ2（T2H-t2H）-12ξ2μ2（T-t）f赞（ξ）。e-12ξ2λ2（T2H-t2H）-12ξ2μ2（T-t）nt，T（x），：5２００8（）nt，T（x）=12πR乙eixξ·e-12ξ2λ2（T2H-t2H）-12ξ2μ2（T-t）dξ=12πR乙e-12ξ2[λ2（T2H-t2H）-12μ2（T-t）]+ixξdξ=12πR乙e-12[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]（ξ-ixλ2（T2H-t2H）-μ2（T-t））2-x22[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]dξ=12πe-x22[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]R乙e-12[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]（ξ-ixλ2（T2H-t2H）-μ2（T-t））2dξ=12π[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]姨e-x22[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]h（λBH（t）+μW（t））=nt，T（t）·f（t）=R乙nt，T（（λBH（t）+μW（t））-y）f（y）dy=R乙12π[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]姨e-[x-（λBH（t）+μW（t））]22[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]f（x）dx。1A∈B（R），E軒t[χA（λBH（T）+μW（T））]=A乙12π[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]姨exp-（x-（λBH（t）+μW（t））22[λ2（T2H-t2H）-μ2（T-t）]軒軒1A（x）dx（6）θ，ω∈R，θBH*（t）+ωW*（t）=θ（BH（t）+θt2H）+ω（W（t）+ωt），0≤t≤T（7）Girsanovμ*，θBH*（t）+ωW*（t）μ*。E軒t*[·]μ*。Z（t）=ε（-θχ[0，t]）e-ωW（t）-12ω2t=exp（-θBH（t）-ωW（t）-12θ2t2H-12ω2t）（8）3f，E[f（θBH（t）+ωW（t））]∞，坌0≤t≤TE軒t*[f（θBH（t）+ωW（t））]=1Z（t）E軒t[f（θBH（t）+ωW（t））]（9）f赞f。E軒t[f（θBH（T）+ωW（T））Z（T）]=E軒t12πR乙e（iξ-1）θBH{T}+（iξ-1）ωW（T）-12θ2T-12ω2Tf赞（ξ）d坌坌ξ=6412πe-12θ2T-12ω2TR乙E軒t[e（iξ-1）θBH{T}+（iξ-1）ωW（T）]f赞（ξ）dξ=12πe-12θ2T-12ω2TR乙e（iξ-1）θBH{t}+（iξ-1）ωW（t）+（-ξ22-iξ+1）θ2（T2H-t2H）+（-ξ22-iξ+1）ω2（T-t）f赞（ξ）dξ=12πZ（t）R乙eiξ（θBH{t}+ωW（t））+（-ξ22-iξ）θ2（T2H-t2H）+（-ξ22-iξ）ω2（T-t）f赞（ξ）dξ（10），E軒t*[f（θBH（t）+ωW（t））]=E軒t*[12πR乙eiξ（θBH（T）+ωW（T））f赞（ξ）dξ]=12πE軒t*[R乙eiξ（θBH*（T）+ωW*（T）-θ2T2H-ω2T）f赞（ξ）dξ]=12π[R乙E軒t*[eiξ（θBH*（T）+ωW*（T））]eiξ（-θ2T2H-ω2T）f赞（ξ）dξ=12π[R乙eiξ（θBH*（t）+ωW*（t）-12ξ2θ2（T2H-t2H）-12ξ2ω2（T-t）]eiξ（-θ2T2H-ω2T）f赞（ξ）dξ=12π[R乙eiξ（θBH（t）+ωW（t）+θ2T2H+ω2t-12ξ2θ2（T2H-t2H）-12ξ2ω2（T-t）]eiξ（-θ2T2H-ω2T）f赞（ξ）dξ=12πR乙eiξ（θBH（t）+ωW（t）+（-12ξ2-iξ）θ2H（T2H-t2H）+（-12ξ2-iξ）ω2（T-t）f赞（ξ）dξ（11）（10），（11）。2Black-Scholes，（1）。：，：（1）dM（t）=rM（t）dt，M（0）=1（12）r，0≤t≤T；（2）dS（t）=rS（t）dt+σS（t）dBH（t）+εS（t）dW（t），S（0）=S0（13）σ，ε0，0≤t≤T。[3]，，。。。4FTHG∈L2（μ），t∈[0，T]G（t）=e-r（T-t）E軒t[G]（14）：7２００8（），（m（t），s（t）），G（t）=m（t）M（t）+s（t）S（t）。G（t）=G，dG（t）=m（t）dM（t）+s（t）dS（t）=rG（t）+s（t）S（t）（σdBH（t）+εdW（t））e-rte-rtG（t）=G（0）+t0乙e-rτs（τ）S（τ）（σdBH（τ）+εdW（τ））（15），Clark-Ocone[3，6]e-rtG（t）=e-rtE[G]+e-rtt0乙Eτ[乙DτG]（σdBH（τ）+εdW（τ））（16）（15）（16），E軒τ[DτG]=er（T-τ）s（τ）S（τ）。e-rTG=e-rTE[G]+T0乙e-rτs（τ）S（τ）（σdBH（τ）+εdW（τ））（17）E軒t[e-rTG]=e-rTE[G]+E軒t[T0乙e-rτs（τ）S（τ）（σdBH（τ）+εdW（τ））]=e-rTE[G]+t0乙e-rts（τ）S（τ）（σdBH（τ）+εdW（τ））（18）（15）（18）G（t）=e-r（T-t）E軒t[G]。。Black-Scholes。5（r（t）=r，σ（t）=σ），K，Tt∈[0，T]C（t，S（t））=S（t）N（d1）-Ke-r（T-t）N（d2）（19）d1=ln（S（t）K）+r（T-t）+σ22（T2H-t2H）+ε22（T-t）σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨d2=ln（S（t）K）+r（T-t）-σ22（T2H-t2H）-ε22（T-t）σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨C（t，S（t））=E軒t[e-r（T-t）max（S（T）-K，0）]=E軒t[e-r（T-t）S（T）χ{S（T）K}]-Ke-r（T-t）E軒t[χ{S（T）K}]=e-r（T-t）E軒t[S（T）χ{S（T）K}]-Ke-r（T-t）E軒t[χ{S（T）K}]84d2*=ln（KS）-μT+σ22T2H+ε22T，E軒t[χ{S（T）K}]=E軒t[χ{xd2*}（σBTH+εWT）]=∞d2*乙12π（σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨e-［x-（σBH（t）+εW（t））］22[σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）]dx=∞d2*-（σBH（t）+εW（t））σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨乙12π姨e-z22dz=（σBH（t）+εW（t））-d2*σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨-∞乙12π姨e-z22dz=N（d2）（20）σBH*（t）+εW*（t）=σ（BH（t）-σt2H）+ε（W（t）-εt）（21）Z（t）=exp（σBH（t）+εW（t）-12θ2t2H-12ω2t）（22）3E軒t[STχ{S（T）K}（σBH（T）+εW（T））]=erTE軒t[Z（T）χ{xd2*}（σBH（T）+εW（T））]=erTZ（t）E軒t*[χ{S（T）K}（σBH*（T）+εW*（T））]ln（S（T））=lnS+μT-σ22T2H-ε22T+（σBH（T）+εW（T））=lnS+μT+σ22T2H+ε22T+（σBH*（T）+εW*（T））（23）d1*=ln（KS）-μT-σ22T2H-ε22TE軒t*[χ{S（T）K}（σBH*（T）+εW*（T））]=E軒t*[χ{xd1*}（σBH*（T）+εW*（T））]=∞d1*乙12π（σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨e-［x-（σBH*（t）+εW*（t））］22[σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）]dx=∞d1*-（σBH*（t）+εW*（t））σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨乙12π姨e-z22dz=（σBH*（t）+εW*（t））-d1*σ2（T2H-t2H）+ε2（T-t）姨-∞乙12π姨e-z22dz=N（d1）（24）E軒t[S（T）χ{S（T）K}（σBH（T）+εW（T））]=erTZ（t）N（d1）=erTe-rtS（t）N（d1）=er（T-t）S（t）N（d2）（25）。：[1]BiaginiF，HuY，KsendalB，etal.StochasticCalculusforFractionalBrownianMotionsandApplications[M].Berlin：Springer-Verlag，2008.[2]CheriditoP.Reg