2.3.2平面与平面垂直的判定

10/10/20192.3.2平面与平面垂直的判定一、导学提示，自主学习二、课堂设问，任务驱动三、新知建构，交流展示四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业10/10/2019一、导学提示，自主学习1.本节学习目标（1）了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小；（2）掌握两个平面垂直的定义和画法；（3）理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题。学习重点:二面角及求法；两个平面垂直判定定理及应用学习难点：两个平面垂直判定定理的证明及应用10/10/2019一、导学提示，自主学习2.本节主要题型题型一求二面角的大小题型二证明两个平面垂直题型三易错辨析3.自主学习教材P67-P692.3.2平面与平面垂直的判定10/10/2019两直线所成角的取值范围：AB1O平面的斜线和平面所成的角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：[0o,90o][0o,90o](0o,90o)二、课堂设问，任务驱动10/10/20191.在平面几何中角是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。二、课堂设问，任务驱动10/10/20192.在立体几何中,异面直线所成的角是怎样定义的？直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。3.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。二、课堂设问，任务驱动10/10/2019二、课堂设问，任务驱动1.通过本节课的学习你能灵活应用平面与平面垂直判定定理证明平面与平面垂直吗？2.通过本节课的学习你能归纳出二面角的求法及步骤吗？10/10/2019三、新知建构，交流展示1.新知建构一.二面角的概念二.两个平面互相垂直的概念三.平面与平面垂直的判定定理四.平面与平面垂直判定定理的应用10/10/2019问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？三、新知建构，交流展示10/10/2019这样的角有何特点，该如何表示呢？三、新知建构，交流展示10/10/20191.二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。半平面——αlαl三、新知建构，交流展示10/10/20192．二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-．l10/10/2019思考:将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为二面角，你能画一个二面角的直观图吗？10/10/2019lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB你从图中看出了二面角的几种写法?10/10/20193.二面角的画法ll平卧式AB直立式AB10/10/2019AB二面角－AB－ll二面角－l－二面角C－AB－DABCD54.二面角的记法10/10/2019思考:把门打开，门和墙构成二面角；把书打开，相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同，可得到不同的二面角，这些二面角的区别在哪里？打开的书10/10/2019思考:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。10/10/2019思考:在二面角α-l-β的棱上取一点O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？lαβOAB10/10/2019思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lαβOABlαβOAB10/10/2019思考:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？lαβOAB10/10/2019lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角9二面角的大小用它的平面角来度量5.二面角的平面角思考:二面角的范围[0°,180°]10/10/2019二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB哪个对?怎么画才对?10/10/2019注意：lOAB以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角5.二面角的平面角二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角10/10/2019练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AOEO二面角A--BC--D14正方体A’C中（定义法）（垂线法）10/10/2019归纳：求二面角大小的步骤为：（1）找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义(垂直于棱)；（3）计算.10/10/2019观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。10/10/2019(2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢?αβaAb三、新知建构，交流展示10/10/201910/10/2019问题：如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？10/10/2019建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？10/10/2019如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.猜想：下面我们来验证这个定理10/10/2019证明：设α∩β=CD，则B∈CD，在平面β内过B点作BE⊥CD。∵AB⊥CD，AB⊥BE。∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角，∴二面角α—CD—β是直二面角，即α⊥β。αβABCDE已知：直线AB⊥平面β于B点，AB平面α，求证:α⊥β10/10/2019一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号:αβaA简记：线面垂直，则面面垂直面面垂直线面垂直线线垂直aa面符号:10/10/20191.过平面α的一条垂线可作_____个平面与平面α垂直.2.过一点可作_____个平面与已知平面垂直.3.过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直.4.过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直.一无数无数一10/10/2019P69例3、如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.10/10/2019证明:设已知⊙O平面为α,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCACPAACABCPAC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面10/10/2019三、新知建构，交流展示2.典例分析：题型一求二面角的大小题型二证明两个平面垂直题型三易错辨析10/10/2019题型一求二面角的大小【例1】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角D1-BC-D的平面角的大小.解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平面D1C.又D1C⊂平面D1C,∴BC⊥D1C,∴∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.在△D1CD中,D1D⊥CD,D1D=CD,∴∠D1CD=45°.∴二面角D1-BC-D的平面角的大小是45°.题后反思:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角,其求解方法相同,步骤是:①作出它们的平面角;②证明所作的角满足定义;③将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“一作二证三计算”.三、新知建构，交流展示10/10/2019题型二证明两个平面垂直【例2】如图所示,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC,求证:平面ABD⊥平面ABC.三、新知建构，交流展示10/10/2019证明:证法一:取AB的中点O,如图所示,连接OD,OC.∵AD=DB,∴DO⊥AB.又△ABD≌△ABC,∴OD=OC=12AB,又△ABC是等腰直角三角形,∴OC=22AC,又CD=AC,∴OC=22CD,∴OD2+OC2=2OC2=CD2,∴DO⊥OC.又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,∴DO⊥平面ABC.又DO⊂平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC.三、新知建构，交流展示10/10/2019证法二:取AB的中点O,连接OD,OC,如图所示.则有OD⊥AB,OC⊥AB,即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.设AC=a,则OC=OD=22a.又∵CD=AD=AC,∴CD=a,∴CD2=OC2+OD2.∴△COD是直角三角形,即∠COD=90°.∴二面角C-AB-D是直二面角,即平面ABD⊥平面ABC.三、新知建构，交流展示10/10/2019题后反思:(1)证明平面与平面垂直的方法有两个:①利用定义:证明二面角的平面角为直角,如本题证法二;②利用面面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直,如本题证法一.(2)根据面面垂直的定义判定两个平面垂直,实质上是把问题转化成了求二面角的平面角.通常情况下利用判定定理要比定义简单些,这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转证线面垂直.其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.三、新知建构，交流展示10/10/2019题型三易错辨析易错点错认二面角的平面角【例3】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,且PA=2AD,二面角P-CD-A的平面角为θ,则tanθ=.错解:∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,∴θ=∠PCA,在Rt△PAC中,PA⊥AC,AC=2AD,又PA=2AD,∴PA=2AC,∴tanθ=tan∠PCA=PA2AC,故填2.错因分析:错解中,错认为∠PCA是二面角P-CD-A的平面角,其实不然,其原因在于PC,AC与二面角P-CD-A的棱CD不垂直.三、新知建构，交流展示10/10/2019正解:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=2AD,∴tanθ=tan∠PDA=PAAD=2.答案:2题后反思:二面角的平面角要满足条件:①顶点在棱上;②两边分别在两个面内;③两边与棱均垂直.这三个条件缺一不可,本题错解中不满足条件③.三、新知建构，交流展示10/10/2019变式训练1-1：如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小等于.解析:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC.∴∠BAC是二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的平面角是90°.答案:90°四、当堂训练，针对点评10/10/2019变式训练2-1：如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.证明:∵PA⊥平面AC,