几何图形的计数

在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果．本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离不开分类．下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！AB、例1数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加AC、AD、AE、AF共5条BC、BD、BE、BF共4条CD、CE、CF共3条DE、DF共2条EF共1条合计有5+4+3+2+1=15（条）（一）数线段基础训练1．共有6×(6+1)÷2=21（条）注意：这里涉及到数学中很重要的思想方法——分类的思想方法。在几何计数中怎样分类？本例所介绍的是方法（1）：按照包含同一图形进行分类；（2）先划分出基本图形，再按照包含基本图形的数目分类．你是怎样数的？如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=.2)1(nnAB、BC、CD、DE、EF;AC、BD、CE、DF；AD、BE、CF；AE、BF；AF共16条（二）数角例2BACDEO数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边以OA为一条边的角有：∠AOB∠AOC∠AOD∠AOE共4个同样还有：∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个∠COD，∠COE共2个∠DOE共1个合计有4+3+2+1=10（个）（三）数三角形可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法）因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。上面我们采用的方法是分类法这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思想——转化思想的运用使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加辅助线）找出它的某一部分作对应图形本题的解决，既有分类法又有对应法BACDEOA1B1C1D1E14×(4+1)÷2=104个基本角的和=90°；两个相邻基本角组成的3个角的和=90°+45°=135°；三个相邻基本角组成的2个角的和=135°；4个相邻基本角组成的1个角=90°，所以所有角的和=90°+135°+135°+90°=450°．BACDEO顶点为O，且一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）；一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）；一边在AC上的三角形有3×4÷2=6（个），再加△ABC，所以共有23个三角形．基础训练5下图中共有个三角形ABCO（四）数长方形、平行四边形和正方形AM与EB对应着长方形EPNB,AM与GB对应着长方形GQNB.就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形，所以共有3×6=18个长方形ABCDEFGHQPMN图中共有---------个长方形一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个线段AM与AE对应着长方形AMPE，AM与AG对应着长方形AMQG，AM与AB对应着长方形AMNB，AM与EG对应着长方形EPQG,例4横边上有8×(8+1)÷2=36条线段，纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段，所以共有36×28=1008个平行四边形．例6（雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为思考：能否像例4那样数平行四边形？可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形但分割的块数越少越好3021442122）（）（思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？假设分为如下图所示的两块，那么每块中的平行四边形的个数都是思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形，那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个平行四边形已经包含在前60个之中．所以，原图形中平行四边形的个数是90－18=72．注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！例5如左、中、右三图，各包含多少个正方形？为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么左图中边长为1的正方形的个数是3×2=6边长为2的正方形的个数是2×1=2所以左图中共有正方形3×2+2×1=8（个）中图中边长为1的正方形的个数是4×3=12边长为2的正方形的个数是3×2=6边长为3的正方形的个数是2×1=2所以中图中共有正方形4×3+3×2+2×1=20（个）右图中边长为1的正方形的个数是6×4=24边长为2的正方形的个数是5×3=15边长为3的正方形的个数是4×2=8边长为4的正方形的个数是3×1=3所以中图中共有正方形6×4+5×4+4×2+3×1=50（个）如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（3）按照图形的大小分类例7ABCKDEFGHL第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个你打算怎样数图中的三角形？5第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个5第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个10第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个5第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个55第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个所以图中的三角形共有35个这里所采用的方法是分类法中的另一种，是：（4）按照图形的形状分类也可以说是（5）按照图形所处的位置分类例8（华罗庚金杯竞赛题）下图中有个正方形，有个三角形．能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数出其中的正方形个数？6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91除上一类为，还有个正方形4共有95个正方形这里所使用的方法是分类法中的（4）按照图形的形状分类6×6×2=72个直角边长为1的三角形有1--2行2--3行3--4行4--5行5--6行直角边长为2的三角形8个,6个,2个,8个,6个,共30个4个,2个直角边长为3的三角形1--2行3--5行4--6行4个,共10个思考：还有漏数的三角形吗？各4个,共12个3个1个斜边长为2的三角形1--3行第4行第5行第6行4个，共计20个1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个）思考：还有漏数的三角形吗？思考：还有漏数的三角形吗？斜边长为4的三角形直角边长为4的三角形3--6行2个所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155（个）这里用了分类法中的（3）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类）1-4行1个,2-5行2个，4-5行1个，共4个分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正方形，如左图这类正方形的个数是课后反思总结计数方法：1．分类计数法（1）按照包含同一图形分类；（2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。（3）按照图形的大小分类；（4）按照图形的形状分类；（5）按照图形所处的位置分类．2．对应计数法几个计算公式：1．线段、角的计数公式：2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)=mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)×12)1(nn图形个数问题解答在成就测试答案1．3+2+1=6，∠A1OA4．2．6+5+4+3+2+1=21．DECBA4．4×1+3×2+2×3+1×4=205．BCDEFA经过AB到F的有▁▁种爬法3经过AE到F的有▁▁种爬法3经过AD到F的有▁▁种爬法所以共9种爬法36．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？说出你是怎样数的．BCDEFGA与数长方形和正方形的方法类似长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个(3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个3×2×2+2×1×1=147．如图，图中的三角形共有多少个？请把它们都用记号表示出来．MBCDEFGNA(1)一边在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁△ABC,△ABE,△ABN,△ABF,△ADM,△ADC,△BDG,△BDC(2)一边在BC上而另一边不在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁△BCA,△BCD,△BCF,△BCG,△BEA,△BEN,△ECA,△ECM(3)一边在CA上而另一边既不在AB上也不在BC上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁△CAB,△CAD,△CAE,△CAM,△CFB,△CFG,△AFB,△AFN(4)三边不在AB、BC、CA上的有△MNG所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个共计8+5+3=16个吗？3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100．图中共有直线6条，设为a,b,c,d,e,f,每3条一组，列表如下abcabdabeabfacdaceacfadeadfaef计10组bfcedabcdbcebcfbdebdfbef计6组cdecdfcef计3组def计1组这里采用的是对应法，但是也要注意计数中是否有遗漏或重复def计1组，合计10+6+3+1=20组但是经过同一点的三条直线不能围成三角形，所以图中的三角形共有20－3=17（个）提高训练3．图中共有多少个三角形？显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有1+2=3（个）（3）第三大的三角形有1+2+3=6（个）（4）第四大的三角形有1+2+3+4=10（个）（5）第五大的三角形有1+2+3+4+5=15（个）（6）最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24（个）最后加的3个是哪3个？所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2×59=118（个）提高训练4在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法第1步：找对应图形每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上。第2步：明确对应关系从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）。第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）。第3步：计算对应图形个数由于在8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，A·提高训练5下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）。（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3。这时，长为3的边是原正方形的一边所以这样的三角形共有32+16=48（个）注意：不能与（1）中的三角形重复这样的三角形有8×2=16（