2019高考数学二轮复习-板块四-考前回扣-回扣3-三角函数、三角恒等变换与解三角形学案-文

...1回扣3三角函数、三角恒等变换与解三角形1．三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在错误!错误!(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．(3)图象变换y＝sinx―――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的1ωω0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．3．准确记忆六组诱导公式...2对于“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．4．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba.5．正弦定理及其变形asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.6．余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.7．面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为φω，而不是φ.5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．...31．若sinθ·cosθ＝12，则tanθ＋cosθsinθ的值是()A．－2B．2C．±2D.12答案B解析tanθ＋cosθsinθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝1cosθsinθ＝2.2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sin2x＋cos2xD．y＝sinx＋cosx答案A解析化简函数的解析式，A中，y＝cos2x是最小正周期为π的偶函数．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，cosA＝－24，则b的值为()A．1B.2C.32D.62答案A解析根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，则22＝b2＋(2)2－2b×2×－24，所以b2＋b－2＝0，解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故选A.4．要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π3个单位长度D．向右平移π3个单位长度答案B解析∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位长度．...45．若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0θπ)的图象关于点π2，0对称，则函数f(x)在－π4，π6上的最小值是()A．－1B．－3C．－12D．－32答案B解析f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin2x＋θ＋π6，则由题意知，fπ2＝2sinπ＋θ＋π6＝0，又因为0θπ，所以7π6π＋θ＋π613π6，所以π＋θ＋π6＝2π，所以θ＝5π6，所以f(x)＝－2sin2x.又因为函数f(x)在－π4，π6上是减函数，所以函数f(x)在－π4，π6上的最小值为fπ6＝－2sinπ3＝－3，故选B.6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA等于()A.31010B.1010C．－1010D．－31010答案C解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝π4，AD＝BD＝13BC，DC＝23BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝1＋21－1×2＝－3，所以cosA＝－1010，故选C.7．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案A...5解析∵sin2α＝55，α∈π4，π，∴2α∈π2，π，即α∈π4，π2，cos2α＝－255，又sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴β－α∈π2，π，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又α＋β∈5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A.8．设函数y＝sinωx(ω0)的最小正周期是T，将其图象向左平移14T个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y＝sinωx(ω0)的单调递增区间是()A.7kπ6－7π24，7kπ6＋7π24(k∈Z)B.7kπ3－7π24，7kπ3＋7π24(k∈Z)C.7kπ3－7π12，7kπ3＋7π12(k∈Z)D.7kπ6＋7π24，7kπ6＋21π24(k∈Z)答案A解析方法一由已知图象知，y＝sinωx(ω0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y＝sin127x.由2kπ－π2≤127x≤2kπ＋π2得到单调递增区间是7kπ6－7π24，7kπ6＋7π24(k∈Z)．方法二因为T＝2πω，所以将y＝sinωx(ω0)的图象向左平移14T个单位长度后，...6所对应的解析式为y＝sinωx＋π2ω.由图象知，ω7π12＋π2ω＝3π2，所以ω＝127，所以y＝sin127x.由2kπ－π2≤127x≤2kπ＋π2得到单调递增区间是7kπ6－7π24，7kπ6＋7π24(k∈Z)．9．已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是()A.π2B.π6C.π3D.π4答案B解析已知f()x＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，y＝f()x＋φ＝2sinx＋φ＋π3关于直线x＝0对称，所以f(0)＝2sinφ＋π3＝±2，所以φ＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，φ＝π6＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝π6，故选B.10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1ω0，|φ|π8，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为4π3，若f(x)0对x∈－π8，π4恒成立，则φ的取值范围是()A.－π12，0B.－π8，－π24C.－π12，π8D.0，π12答案B解析由已知得函数f(x)的最小正周期为4π3，则ω＝32，当x∈－π8，π4时，32x＋φ∈－3π16＋φ，3π8＋φ，因为f(x)0，即cos32x＋φ12，所以－3π16＋φ≥－π3＋2kπ，3π8＋φ≤π3＋2kπ(k∈Z)，...7解得－7π48＋2kπ≤φ≤－π24＋2kπ(k∈Z)，又|φ|π8，所以－π8φ≤－π24，故选B.11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，则fπ3的值为________．答案1解析根据图象可知，A＝2，3T4＝11π12－π6，所以周期T＝π，ω＝2πT＝2.又函数过点π6，2，所以sin2×π6＋φ＝1，又0φπ，所以φ＝π6，则f(x)＝2sin2x＋π6，因此fπ3＝2sin2π3＋π6＝1.12．已知函数f(x)＝3sinωx－π6(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈0，π2，则f(x)的取值范围是________．答案－32，3解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin2x－π6，那么当x∈0，π2时，－π6≤2x－π6≤5π6，所以－12≤sin2x－π6≤1，故f(x)∈－32，3.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sinA·sinC，则ba＋c的取值范围为____________．答案63，255解析因为sin2B＝8sinA·sinC，由正弦定理可知，...8b2＝8ac，所以cosB＝a2＋c2－b22ac＝a＋c2－2ac－b22ac＝a＋c2－54b214b2＝4a＋c2b2－5∈(0,1)，令t＝ba＋c，t0，则04t2－51，解得23t245，即t∈63，255.14.如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7，cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，则BC的长为________．答案3解析因为cos∠BAD＝－714，故sin∠BAD＝1－－7142＝32114，在△ADC中运用余弦定理，可得cos∠CAD＝1＋7－427＝277，则sin∠CAD＝1－2772＝217，所以sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32，在△ABC中运用正弦定理，可得BCsin∠BAC＝7sin∠CBA⇒BC＝32×7×621＝3.15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋(cosA－3sinA)cosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＝2，b＝7，求△ABC的面积．解(1)由已知得...9－cos(A＋B)＋cosAcosB－3sinAcosB＝0，即sinAsinB－3sinA