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高中数学必修2知识点总结第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各顶点字母,如五棱柱'''''EDCBAABCDE或用对角线的端点字母,如五棱柱'AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥'''''EDCBAP几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台'''''EDCBAP几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间几何体的三视图和直观图(1)定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。(2)画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等(3)直观图:斜二测画法(4)斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;(3).画法要写好。(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,'h为斜高,l为母线)chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧'21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积')(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆锥表22RRlrlrS圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShrh圆柱13VSh锥hrV231圆锥''1()3VSSSSh台''2211()()33VSSSShrrRRh圆台(4)球体的表面积和体积公式:V球=343R;S球面=24R第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(1)平面①平面的概念:A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;②平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。③点与平面的关系:点A在平面内,记作A;点A不在平面内,记作A点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l;点A在直线l外,记作Al;直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作lα;直线l不在平面α内,记作lα。(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。(即直线在平面内,或者平面经过直线)应用:检验桌面是否平;判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1:,,,AlBlABl(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。DCBAα推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据(4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。符号语言:,PABABlPl公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4注意点:①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角θ∈(0,);③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示aαa∩α=Aa∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。简记为:线线平行,则线面平行。共面直线=a∥c2符号表示:Aαbβ=a∥αa∥b2.2.2平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。符号表示:aβBβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为:线面平行则线线平行。符号表示:a∥αaβa∥bα∩β=b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。符号表示:α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。LΑP2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。直线与直线的位置关系注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭lβBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2两条直线的平行与垂直平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系22122221PPxxyy1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即)(00xxkyy3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程:直线l经过点),(000yxP,且斜率为k2、、直线的斜截式方程:已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程:已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为A)0,(a,与y轴的交点为B),0(b,其中0,0ba3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程:关于yx,的二元一次方程0CByAx(A,B不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.两直线的交点坐标1、给出例题:两直线交点坐标L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=0解:解方程组34202220xyxy得x=-2,y=2所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1.点到直线距离公式:点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为:2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式:已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l:01CByAx,2l:02CByAx,则1l与2l的距离为2221BACCd第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程:222()()xaybr圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法:(1)2200()()xayb2r,点在圆外(2)2200()()xayb=2r,点在圆上(3)2200()()xayb2r,点在圆内4.1.2圆的一般方程1、圆的一般方程:022FEyDxyx2、圆的一般方程的特点
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