等比数列知识点总结及练习(含答案)

等比数列1、等比数列的定义：*12,nnaqqnnNa0且，q称为公比2、通项公式：11110,0nnnnaaaqqABaqABq，首项：1a；公比：q推广：nmnmnnnmnmmmaaaaqqqaa3、等比中项：（1）如果,,aAb成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列na是等比数列211nnnaaa4、等比数列的前n项和nS公式：（1）当1q时，1nSna（2）当1q时，11111nnnaqaaqSqq11''11nnnaaqAABABAqq（,,','ABAB为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n，都有11(0){}nnnnnnaaqaqqaaa或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}nnnnnnaaaaaa为等比数列（3）通项公式：0{}nnnaABABa为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,nnaqqnnNa0且或1{}nnnaqaa为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,mnN，在等比数列{}na中，有nmnmaaq。（3）若*(,,,)mnstmnstN，则nmstaaaa。特别的，当2mnk时，得2nmkaaa注：12132nnnaaaaaa（4）数列{}na，{}nb为等比数列，则数列{}nka，{}nka，{}kna，{}nnkab，{}nnab（k为非零常数）均为等比数列。（5）数列{}na为等比数列，每隔*()kkN项取出一项23(,,,,)mmkmkmkaaaa仍为等比数列（6）如果{}na是各项均为正数的等比数列，则数列{log}ana是等差数列（7）若{}na为等比数列，则数列nS，2nnSS，32,nnSS，成等比数列（8）若{}na为等比数列，则数列12naaa，122nnnaaa，21223nnnaaa成等比数列（9）①当1q时，110{}0{}{nnaaaa，则为递增数列，则为递减数列②当1q0时，110{}0{}{nnaaaa，则为递减数列，则为递增数列③当1q时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；④当0q时,该数列为摆动数列.（10）在等比数列{}na中，当项数为*2()nnN时，1SSq奇偶二例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．【例3】{a}(1)a=4an25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．【例4】求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0三、考点分析考点一：等比数列定义的应用1、数列na满足1123nnaan，143a，则4a_________．2、在数列na中，若11a，1211nnaan，则该数列的通项na______________．考点二：等比中项的应用1、已知等差数列na的公差为2，若1a，3a，4a成等比数列，则2a（）A．4B．6C．8D．102、若a、b、c成等比数列，则函数2yaxbxc的图象与x轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．不确定3、已知数列na为等比数列，32a，24203aa，求na的通项公式．考点三：等比数列及其前n项和的基本运算1、若公比为23的等比数列的首项为98，末项为13，则这个数列的项数是（）A．3B．4C．5D．62、已知等比数列na中，33a，10384a，则该数列的通项na_________________．3、若na为等比数列，且4652aaa，则公比q________．4、设1a，2a，3a，4a成等比数列，其公比为2，则123422aaaa的值为（）A．14B．12C．18D．15、等比数列{an}中，公比q=21且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.考点四：等比数列及其前n项和性质的应用1、在等比数列na中，如果66a，99a，那么3a为（）A．4B．32C．169D．22、如果1，a，b，c，9成等比数列，那么（）A．3b，9acB．3b，9acC．3b，9acD．3b，9ac3、在等比数列na中，11a，103a，则23456789aaaaaaaa等于（）A．81B．52727C．3D．2434、在等比数列na中，9100aaaa，1920aab，则99100aa等于（）A．98baB．9baC．109baD．10ba5、在等比数列na中，3a和5a是二次方程250xkx的两个根，则246aaa的值为（）A．25B．55C．55D．556、若na是等比数列，且0na，若243546225aaaaaa，那么35aa的值等于考点五：公式11,(1),(2)nnnSnaSSn的应用1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是()A.公比为2的等比数列B.公比为21的等比数列C.公差为2的等差数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为()A.(2n-1)2B.31(2n-1)2C.4n-1D.31(4n-1)3、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n.(1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an);(2)求{an}的通项公式;(3)求数列{an}的前n项和Sn.等比数列一、选择题：1．{an}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（）①{an2}也是等比数列②{can}(c≠0)也是等比数列③{na1}也是等比数列④{lnan}也是等比数列A．4B．3C．2D．12．等比数列{an}中，已知a9=－2，则此数列前17项之积为（）A．216B．－216C．217D．－2173．等比数列｛an｝中，a3=7，前3项之和S3=21，则公比q的值为（）A．1B．－21C．1或－1D．－1或214．在等比数列{an}中，如果a6=6，a9=9，那么a3等于（）A．4B．23C．916D．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为（）A．x2－6x＋25=0B．x2＋12x＋25=0C．x2＋6x－25=0D．x2－12x＋25=06．某工厂去年总产a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（）A．1.14aB．1.15aC．1.16aD．(1＋1.15)a7．等比数列{an}中，a9＋a10=a(a≠0)，a19＋a20=b，则a99＋a100等于（）A．89abB．(ab)9C．910abD．(ab)108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（）A．32B．313C．12D．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为（）A．11nB．11nC．112nD．111n10．已知等比数列na中，公比2q，且30123302aaaa，那么36930aaaa等于（）A．102B．202C．162D．15211．等比数列的前n项和Sn=k·3n＋1，则k的值为（）A．全体实数B．－1C．1D．3二、填空题：12．在等比数列{an}中，已知a1=23，a4=12，则q=_________，an=________．13．在等比数列{an}中，an＞0，且an＋2=an＋an＋1，则该数列的公比q=______．14．在等比数列｛an｝中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10＝．15．数列｛na｝中，31a且naann(21是正整数)，则数列的通项公式na．三、解答题：16．已知数列满足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．17．在等比数列｛an｝中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n．18．在等比数列｛an｝中，a1＋an=66，a2·an－1=128，且前n项和Sn=126，求n及公比q．参考答案一、选择题：BDCADBACDBBC二、填空题：13.2，3·2n－2．14.251．．16.123n．三、解答题：17.(1)证明：由an＋1=2an＋1得an＋1＋1=2(an＋1)又an＋1≠0∴111nnaa=2即{an＋1}为等比数列．(2)解析：由(1)知an＋1=(a1＋1)qn－1即an=(a1＋1)qn－1－1=2·2n－1－1=2n－118.解析：由a1＋a2＋…＋an＝2n－1①n∈N*知a1＝1且a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－由①－②得an＝2n－1，n≥2又a1＝1，∴an＝2n－1，n∈N*212221)2()2(nnnnaa＝即｛an2｝为公比为4的等比数列∴a12＋a22＋…＋an2＝)14(3141)41(21nna19.解析一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1②÷①得：1＋qn＝45即qn＝41③③代入①得qa11＝64④∴S3n＝qa11(1－q3n)＝64(1－341)＝63解析二：∵｛an｝为等比数列∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)根据已知条件qqaqqann160)1(481)1(211①②∴S3n＝48)4860()(22222nnnnSSSS＋60＝6320.解析：当x=1时，Sn=1＋3＋5＋…＋(2n－1)=n2当x≠1时，∵Sn=1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，①等式两边同乘以x得：xSn=x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－1)xn．②①－②得：(1－x)Sn=1＋2x(1＋x＋x2＋…＋xn－2)－(2n－1)xn=1－(2n－1)xn＋1)1(21xxxn，∴Sn=21)1()1()12()12(xxxnxnnn．21.解析：∵a1an=a2an－1=128，又a1＋an=66，∴a1、an是方程x2－66x＋128=0的两根，解方程得x1=2，x2=64，∴a1=2，an=64或a1=64，an=2，显然q≠1．若a1=2，an=64，由qqaan11=126得2－64q=126－126q，∴q=2，由an=a1qn－1得2n－1=32，∴n=6．若a1=64，an=2，同理可求得q=21，n=6．综上所述，n的值为6，公比q=2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{an}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人