等比数列教学设计--省级优质课

必修五第二章2.4《等比数列》教学设计一、内容和内容解析1.内容等比数列的定义及通项公式2.内容解析本节课是必修5第二章数列第2.4.1等比数列的第一课时。等比数列是数列的重要组成部分，通过本节的学习，借助类比联想，对等差数列的学习起巩固作用，也为以后学习等比数列的前n项和打好基础。在高中阶段，掌握等比数列的概念及其通项公式，有利于进一步研究等比数列的性质，从而极大提高学生利用数列知识解决实际问题的能力；同时，这节课的内容和教学过程对进一步培养学生观察、分析和归纳问题的能力具有重要意义。在《普通高中课程标准》中要求“理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，理解等比数列与指数函数的关系，并能解决实际问题。”我们通过本节的学习对课标进行了具体的落实。本节首先给出了三个实例，让学生通过观察实例，对比实例中数列的特点，找出共同特性，感受等比数列，通过观察三个实例，抽象概括出等比数列的定义，以及公比。再次进行实例分析，进一步熟悉等比数列，了解到等比数列的公比q≠0，然后在推到等比数列通项公式时，结合定义，由学生自主探究等比数列通项公式的推导，然后教师讲解，同时结合实例练习应用。然后将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，通过思考交流体会等比数列与指数函数的关系。这既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也经历了从实际问题出发探索出数列模型的过程。本节内容在学习等差数列之后，学生运用类比的方法，研究新问题。因此我的设想是在“等差数列”相关内容的基础上，放手让学生思考，以小组为单位展开研究，在获取知识的同时锻炼能力。一节课下来，实现了让学生从整体上把握“数列”内容的基本目标，达成了知识与能力并重的教学意图。从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定本节课的教学重点是等比数列的定义和通项公式，以及等比数列“等比”特征的理解及应用。二、目标和目标解析1.目标（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导（2）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识（3）在教学过程中渗透方程、函数、归纳等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力2.目标解析（1）本堂课遵循“以教师为主导，学生为主体，面向全体学生”的原则，实行教师指导下的学生实践探索的模式。刚开始复习回顾等差数列相关知识，然后通过生活案例的引入，教师引导学生自己探索规律；同时应用“发现式教学法、类比分析法”来组织课堂教学，这样，可充分调动学生学习的积极性和能动性，突出学生的主体作用，因此，在教学过程中应着重提醒学生重视等比与等差数列的对比，最终理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导。（2）等比数列的通项公式用归纳法和累乘法给出，这里累乘法可以认为是对归纳法的证明，可以适当的补充一些累乘例子，加深对此法的理解。对于等比数列的判断，要让学生理解“必须对所有项都成立，反之，则只需要存在三项不构成等差或者等比”即可。（3）等比数列也是一类重要的特殊数列。在讲等比数列的概念和通项公式时要突出它与指数函数的联系，这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题时使用指数函数方法还是等比数列方法进行比较，从而有利于从全面提高学生的素质考虑学生对这些方法的掌握情况。同时等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过分析具体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等），使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中探索出数列模型的能力。三、教学问题诊断分析由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握数列的相关知识，针对“等比数列”概念较为抽象的特点，通过实验教学让学生体会等比数列的特点，并引导学生由等差数列定义类比得出等比数列定义。在通项公式的得出上，引导学生用归纳类比的方法得出。在通项公式应用方面，让学生体会化归思想、方程思想和函数思想，把隐含在教材中的思想方法显化，如等比数列通项公式的推导体现了从特殊到一般的归纳思想；知三求一体现了方程的思想；其通项公式11nnqaa是以n为自变量的函数，可利用函数思想来解决数列有关问题。思想方法的显化对提高学生数学修养有帮助。基于以上分析，确定本节课的教学难点是：等比数列通项公式的应用。四、教学支持条件分析根据本节课教学内容的特点，为了形象直观的引出等比数列的特征，可借助白纸等教具，通过多媒体课件的形式，创设情境:其丰富的色彩、生动的动画增强了授课内容的可视性、趣味性、可理解性，激发了学生的学习兴趣。在精讲例题中，由师生互动，获得思路，先有个别学生板演，其他学生在练习本上演,后对不规范格式进行纠正，这样培养勤动手、动脑的习惯，理解并能用通项公式解题决问、知识循序渐近，教学效果较好五、教学过程设计（一）复习回顾1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。由定义可得等差数列的递推公式：。2.设等差数列na的首项为1a，公差为d，则它的通项公式na=（定义式）。设等差数列na的第m项为ma（mn），公差为d，则它的通项公式为na=.3.等差数列的通项公式是如何得到的？设计意图：通过复习等差数列相关知识，为类比给出等比数列做知识铺垫。（二）创设情境，提出问题情境1：如果我有一张足够大的纸，我只要不断的对折，我就可以沿着这张纸爬上珠穆朗玛峰。我们发现每次折完后纸的层数依次构成一个数列1，2，4，8，16，…（1）情境2：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,81,41,211，……（2）情境3：潘女士的母亲现在存入招宝公司20万元钱，年利率是8.5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：5432085.120,085.120,085.120,085.120,085.120(3）、设计意图：通过形象直观的事例给出几个等比数列，贴近生活的情境引入，很好的调动了学生的积极性。（三）自主探究，找出规律学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q)0(q表示，即1:(,2,0)nnaaqnNnq。如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2,21,1.085点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。设计意图：通过具体的例子让学生自主探究得到等比数列的定义，然后与熟知的等差的定义作比较。（四）观察判断，分析总结观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：1，3，9，27，……,81,41,21,1……-5，-5,-5,-5,……1，-1，1，-1，……1，0，1，0，……0,0,0,0,……1,x,x2,x3……(x=0)思考：①公比q能为0吗？为什么？首项能为0吗？②公比1q是什么数列？③0q数列递增吗？0q数列递减吗？④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。设计意图：等比数列的本质及判定是一个难点，因此，通过简单问题的训练和辨析可以突破难点，总结方法。通过该问题的分析与求解，师生共同探究等比数列定义中的注意事项，以及等比数列的判定方法。（五）观察猜想，求通项：方法1：由定义知道,,,3134212312qaqaaqaqaaqaa……归纳得：等比数列的通项公式为：11nnqaa)(Nn（说明：推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）方法2：由递推关系式或定义写出：,,,342312qaaqaaqaa……qaann1，通过观察发现342312aaaaaa……qqqaann1……1nqq11nnqaa，即：11nnqaa)(Nn（此证明方法称为“累乘法”，在以后的数列证明中有重要应用）公式11nnqaa)(Nn的特征及结构分析：（1）公式中有四个基本量：naqna,,,1，可“知三求一”，体现方程思想。（2）1a的下标与的1nq上标之和nn)1(1，恰是na的下标，即q的指数比项数少1。类比等差数列推到等比数列通项公式的变形：已知等比数列的公比为q,第m项为ma,求na.)(mnqaamnmn设计意图：让学生充分思考讨论，根据情况提示让学生从首项起，写出a1,a2，a3，…，并进行观察、归纳，猜想出等比数列的通项公式。培养了学生归纳、演绎的能力。进一步让学生探讨有没有其它推导方法，这样有利于启发学生发散性思维，使学生的思维处于活跃状态。让学生参与学习，发挥学生的主观能动性，既体会了通项公式的产生过程，加深了理解，又将知识的形成过程转化为学生亲自探索归纳的过程，使学生获得发现的成就感。（六）通项公式的求解思考引例中三个数列的通项公式：（1）1，2，4，8，16，32，64…（2）,81,41,211，…（3）5432085.120,085.120,085.120,085.120,085.120设计意图：及时练习巩固通项公式。（七）等比数列与函数的关系设计意图：数列作为一种特殊的函数，其图像是在对应的函数图象上的一些孤立的点，通过研究数列的图像可以更加深刻的理解数列的通项公式中na与n的关系。（八）例题讲解例1.(1)已知数列na是等比数列，162,3,21naqa，求n的值。(2)已知数列na满足条件：21,31qa，求5a的值。例2.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．练习：（1）3,274qa，求7a（2）8,1842aa，求qa,1设计意图：通项公式的应用是本节课的重点，通过几个例题及练习的的示范，让学生深刻理解通项公式的应用，别是数列中的“知三求一”和求公比时就注意符号的取舍。同时培养学生的应用意识，提高学生解决？的图象，你会发现什么的数列的图象和函数画出通项公式为，在右边的直角坐标系中1122xnnya0211301230问题的能力以及对数学思想、数学方法的理解和掌握。（九）归纳总结：数列等差数列等比数列定义公差（比）通项公式引申设计意图：让学生自己小结，帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯,让学生在独立思考中不断深化感性认识，总结规律，有利于学生对本节课的学习从感性上升到理性。（十）分层作业必作：教材P30A组1-4题选作：已知数列{na}满足1a=1,121nnaa.(1)求证数列{1na}是等比数列；(2)求na的表达式。设计意图：分层布置作业既能照顾学生个体差异，又能满足学生的持续发展需要，使有明显差异的各类学生都能在各自原有基础上得到实实在在的进步与提高。给学生创设了自主学习、自主钻研的舞台，促进学生的发展。六、目标检测设计《展探练特色课堂》第24页1.已知实数列-1，x，y，z，-2成等比数列，则y等于（）A.-4B.±4C.2-D.2设计意图：已知首项和第五项，在求第三项时要注意第三项和第一、五项符号一致。2.已知各项均为正数的等比数列{na}满足36,61098