梁的弯曲(应力、变形)分析解析

1第九章梁的弯曲2第九章梁的弯曲§9-3、用内力方程法绘制剪力图和弯矩图§9-1、平面弯曲§9-4、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图§9-2、梁的弯曲内力---剪力和弯矩§9-5、用叠加法画弯矩图§9-6、梁弯曲时的应力和强度计算§9-7、梁的变形§9-8、梁的应力状态3回顾与比较内力AF应力PITFAyFSM??4梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲Purebending梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－剪力弯曲Bendingbytransverseforce§9-6梁的弯曲时的应力及强度计算一、弯曲正应力Normalstressinbendingbeam5研究对象：等截面直梁研究方法：实验——观察——假定6横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短实验观察——梁表面变形特征以上是外部的情况，内部如何？想象——梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度透明的梁就好了，我们用计算机模拟透明的梁78总之，由外部去想象内部——得到梁弯曲假设：横截面保持为平面——变形后，仍为平面，且垂直于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度纵向各水平面间无挤压——均为单向拉、压状态9弯曲中梁的中性层neutralsurface——既不伸长又不缩短的纵面截面的中性轴neutralaxis——中性层与横截面的交线10纯弯曲时正应力公式变形几何关系物理关系yEyE静力学关系Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径11梁截面上正应力1、沿y轴线性分布2、与z坐标无关zymaxcminzminyIMmaxtmaxzmaxyIMyIMz12正应力计算公式适用范围yIMz剪力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立但当梁跨度l与高度h之比大于5（即为细长梁）时，弹性力学指出：上述公式近似成立截面惯性积Iyz=0推导时用到郑玄-胡克定律，但可用于已屈服的梁截面P124例题9-1313BAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρVx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM解：xm67.5kN8/2qlM14BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2qlM15BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2qlM16BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM117二、弯曲剪应力ShearingstressinbendingbeamV为横截面上的剪力Sz*为面积A*对中性轴的静矩A*VVVAFS23V)4(2)2(21)2(22***yhbyhybyhyAScz矩形梁截面上的切应力分布bISFZZsmax,maxmax最大剪应力18)41(23)4(2)(2222hybhVyhIVyZ讨论1、沿高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大3、梁上下表面处切应力为零123bhIz19腹板为矩形截面时VbISyzz*)()yh(b)hH(B)yh(y)yh(b)hH(h)hH(ByAS*c**z222242822122221222yzBHhbtyA*腹板翼板工字形梁腹板上的切应力分布20)4(2)(8)(2222yhbhHBbIVyzBhH讨论1、沿腹板高度方向抛物线分布2、y=0时，切应力值最大3、腹板上下边处切应力最小8)(822maxhbBBHbIVz22min8hHBbIVz211、弯曲正应力强度条件σIyMσzmaxmaxmax1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑与MzI目录三、梁的强度条件22P126例题9-142、弯曲剪应力强度条件bISFZsZ*maxmax,max23作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttmax,max,,要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct目录例题9-124mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI（1）求截面形心z1yz52解：目录25（4）B截面校核ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3）作弯矩图目录kN.m5.2kN.m426（5）C截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4）B截面校核（3）作弯矩图ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,目录kN.m5.2kN.m427悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷VFMFl3.75kNN375061015010010692721lbhFbhFAV2/32/32max3.按切应力强度条件计算许可载荷kN01N100003/101501001023/2662bhFFl100505050z解：例题9－228gZZbhFbbhhbFbIVS341233323*g4.按胶合面强度条件计算许可载荷3.825kNN382541034.010150100343663gbhF5.梁的许可载荷为3.75kNkN825.3kN10kN75.3minminiFFFl100505050MFlzVF29ZmaxmaxWM][1.降低Mmax合理安排支座合理布置载荷提高梁强度的主要措施30合理布置支座FFF31合理布置载荷F322.增大WZ合理设计截面合理放置截面ZmaxmaxWM][33合理设计截面3462bhWZ左62hbWZ右合理放置截面353、等强度梁bxh3637一.基本概念挠曲线方程：)(xyy由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：dxdytan挠曲线yxxy挠度转角挠度y：截面形心在y方向的位移y向下为正转角θ：截面绕中性轴转过的角度。顺时针为正§9-7梁的变形Beamdeformation38变形后梁轴线挠曲线挠度：y变形后梁截面：仍为平面梁截面转角：PxyCC1f变形前梁截面：平面39叠加原理：承受复杂载荷时，可分解成几种简单载荷，利用简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得在复杂载荷作用下的挠度和转角条件：材料服从胡克定律和小变形挠度和转角均与载荷成线性关系二.用叠加法求梁的变形例按叠加原理求A点转角和C点挠度解：载荷分解如图查梁的简单载荷变形表，得到变形EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33AqPBCaa=+PABqAB例题9-3EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534AqPBCaa=+PABqAB42三、刚度条件][],[maxmaxyy一般钢筋混凝土梁的许可挠度：200~300ll钢筋混凝土吊车梁的许可挠度：500~600ll43四、提高弯曲刚度的一些措施1、减小梁的跨度2、选择合理截面形状，提高抗弯刚度EI3、改善梁的受力和支座位置4、预加反弯度5、增加支座44选择合理的截面形状45改善结构形式，减少弯矩数值改变支座形式46改变载荷类型%5.6212CCww改善结构形式，减少弯矩数值Lq0MABAq0LRBABxEIq0LABf或用变形比较法解简单超静定梁(补充)处理方法：3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，求全部未知力解：建立静定基确定超静定次数用反力代替多余约束得新结构——静定基等价几何方程——变形协调方程0BBRBqBfffq0LRBAB=+RBABq0AB物理方程补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、变形等）49§9-8梁的应力状态脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁50123yxzxyzxyyxyzzyzxxz单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且该单元体称为主应力单元。321,,321通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。51空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零应力状态分类52xyxyyxxya0nF0tF1.斜截面上的应力yaaxydAαntxyx平面应力状态分析---解析法530nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程0tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxyyaaxydAαntxyx54利用三角函数公式)2cos1(21cos2)2cos1(21sin22sincossin2{并注意到化简得xyyx2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx55xyxyyxxya2.正负号规