有限元原理-结构矩阵分析(平面桁架-平面应力)-变分

第二章结构矩阵分析由于有限元方法起源于力学中的结构分析，本章的作用是通过三个典型问题说明有限元方法应用于结构分析时的一般步骤，并借此了解有限元方法的一些基本概念。§2-1平面桁架（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，可处理静定&静不定）本节讨论的对象是图2-1所示的平面桁架。组成桁架的各杆为等截面直杆，外载荷p直接作用于杆的铰接点（结点）上。为简单起见不妨设各杆的截面积均为Ａ，材料的弹性模量均为Ｅ。我们可按下述步骤求得桁架的变形和内力。１、结构的离散化对结点及单元编号取组成桁架的每根杆为一个单元(该问题本身为一离散结构的力学问题)，以①,②,③加以编号；取杆的铰接点为结点，以１、２、３加以编号（总体结点序号）。如图２－２所示，即：我们所讨论的桁架包括三个单元、三个结点。各单元（杆）仅在结点处连接。２、建立总体坐标系并确定结点坐标和自由度为了描述结构的平衡需要建立一个坐标系，称为总体坐标系，以区别于以后出现的“局部坐标系”。总体坐标系的选择原则上不受限制，但希望使用方便。本节所选的总体坐标系示于图２－２，坐标原点与结点１重合。以u,v分别表示沿x,y方向的位移分量，p,q分别表示力沿x,y轴的力分量（投影）。在总体坐标系中各结点的坐标为：它们将作为程序的输入数据（几何参数）。每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为p１图２－１２１x②①②③１１３１p１y图２－２xupyvqijy’v’q’x’u’p’ss①图２－３α（x1,y1）=(0,0)、（x2,y2）=(a,a)、（x3,y3）=(a,0)若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度为３、单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系）取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i,j（单元内部的结点序号）。由材料力学可知，杆的轴向刚度为EA/L。其中Ｌ为杆的长度：（１）单元局部坐标系现选取一典型单元对其进行单元分析，对所分析的单元按如下方式建立一个坐标系：原点：与结点i重合,x’轴：沿i,j方向,y’轴：与x’轴垂直。如图2-3所示。这个坐标系只属于一个单元，故称为单元局部坐标系，不同单元的单元局部坐标系一般是不相同的。在单元局部坐标系中可以规定：结点自由度{u’iv’i}T，{u’jv’j}T；单元结点自由度{u’}＝{u’iv’iu’jv’j}T。（２）局部坐标系中的单元刚度矩阵在外载荷作用下，结构发生变形，单元必受到来自结点的作用力。桁架中的杆只承受轴向力Ｓ，大小与杆的轴向伸长△Ｌ成正比在局部坐标系中这种特性可以得到清楚的表述（这一点也是引入局部坐标系的理由之一）。若以p’i,q’i,p’j,q’j分别表示结点i,j作用于单元的力在x’,y’轴上的投影，由①号单元的静力平衡有（图2-3）有用矩阵的形式可以写成若引入单元广义力矢量：则上式可缩写为22ijijyyxxLLLEAS)(ijjuuLEAp)(jiiuuLEAsp0ijqq(2-1-1)jjiijjiivuvuLEAqpqp0000010100000101''''Tjjiiqpqprukr(2-1-2){u1，v1}T、{u2，v2}T、{u3，v3}T{u1v1u2v2u3v3}T其中称为局部坐标系中的单元刚度矩阵,它只与杆的几个参数E、A、L有关，与杆的方位无关。（３）坐标变换局部坐标系中的单元刚度矩阵公式简捷。但不同单元的局部坐标系一般不同，为了研究结构整体的平衡，必须将结点给单元的力以及相应的单元刚度矩阵转换到统一的坐标系──总体坐标系。在总体坐标系中单元结点自由度{u}＝{uiviujvj}T结点给单元的力{r}＝{piqipjqj}T在图2-3中，x’轴与x轴的夹角为α结点的位移分量的坐标变换为单元的位移分量的坐标变换为或缩写为类似，{r’}与{r}之间的转换关系为由于是正交矩阵，因此(2-1-3)0000010100000101LEAkLyyLxxijijsin,cos　　　　iiiiiivutvuvucossinsincosjjjjjjvutvuvucossinsincosjjiijjiijjiivuvuvuvuvuvuTcossin00sincos0000cossin00sincosuuT(2-1-４)rrT(2-1-５)cossinsincosttt00T(2-1-6)也是正交矩阵。所以有将（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有从上式可得到其中称为单元在总体坐标系中的单元刚度矩阵。以后将会看到，（2-1-9）是一个具有普遍意义的公式。它表明，当单元的自由度由一种形式换成另一种形式时，单元刚度矩阵只需进行一次相似变换。对于平面桁架单元，将（2-1-3）、（2-1-6）、（2-1-7）代入（2-1-9）可得到更便于应用的单元刚度矩阵公式（４）具体结果由（2-1-10）可求得各单元的刚度矩阵的具体形式如下：单元刚度矩阵为单元①：单元自由度{u1v1u2v2}T，单元刚度矩阵为单元②：单元自由度{u２v２u３v３}T，单元刚度矩阵为单元③：单元自由度{u1v1u３v３}T，(2-1-7)T-1TTukrTTukukrTTTTTTkk(2-1-8)(2-1-9)22222222sinsincossinsincossincoscossincoscossinsincossinsincossincoscossincoscosLEAk(2-1-10)45424242424242424242424242424242421aEAk9010100000101000002aEAk(2-1-12)(2-1-11)0请注意，单元刚度矩阵与单元自由度中位移分量的排列次序有关。如果改动这种排列次序，例如对①号单元，将单元自由度次序由{u1v1u2v2}T改为{u2v2u1v1}T，必然导致刚度矩阵（2-1-11）元素位置的变动。（５）单元刚度矩阵的物理意义和特点设平面桁架单元在总体坐标系中刚度矩阵的一般形式为由（2-1-8），当单元结点位移为{1000}T时，在单元各结点上施加的力刚好为单元刚度矩阵中的第一列：{k11k21k31k41}T。对[k]的其他各列也可做出类似的解释。即单元刚度矩阵的每一列相当于一组特定位移下的结点力，如表2-1所示。由图2-4可以获得更为直观的理解。表2-1平面桁架单元刚度矩阵的物理意义单元结点位移作用于单元的结点力{1000}T{k11k21k31k41}T{0100}T{k12k22k32k42}T{0010}T{k13k23k33k43}T{0001}T{k14k24k34k44}T00000101000001013aEAk(2-1-13)44434241343332312423222114131211kkkkkkkkkkkkkkkkk对图2-4中的各种情况，据平面力系的平衡条件应有这三个关系说明，[k]的四个行向量中只有一个线性独立（四个元素有三个约束方程）。从以上分析可以看出，一般的单元刚度矩阵均具备以下两个特征。（对平面桁架单元而言，从（2-1-10）也可以得出这些结论）（i）单元刚度矩阵是对称矩阵，这是线性系统互易定理的具体体现。由于对称性，对行向量或列向量两者之一得到的结论，对另一个也适用。(ii)单元刚度矩阵是奇异矩阵。它的行向量（或列向量）线性相关，具有零特征值，det[k]=0。对平面桁架的单元刚度矩阵而言，它的四个行向量（或列向量）中只有一个线性独立，而[k]有三个零特征值。这三个零特征值对应的特征向量相当于三种独立的刚体位移模式：两个平移，一个旋转。这是我们在单元分析中不考虑位移约束条件的自然结果。４、总体刚度矩阵的组装总体平衡方程将图2-1所示的桁架中的支承约束以约束反力代替，如图2-5所示。下面来建立平衡问题的有限元方程。（１）结点平衡条件作用于图2-5每个结点上的外载荷、支座反力以及来自单元的力应处于平衡。以pi(m)、qi(m)示结点i作用于单元m的力在x,y轴上的投影，则单元m给结点i的力在x,y轴上的投影应为－pi(m)、－qi(m)。对结点１：对结点２：对结点３；）（　　4~1¨000344231skyykxxkkkksijsijssss00)3(1)1(11)3(1)1(11qqRppRYX00)2(2)1(2)2(2)1(2qqppP00)3(3)2(33)3(3)2(3qqRppY２１R3Y②①②③１１３１p１R1X图２－５R1Yk11k41k21k311jik12k42k22k321jik44jk24ik34k141k33k43k23jik131图２－４可以合并成式（2-1-14）的右边为外载荷和支反力。左边则为单元给结点的力，它们是未知的，但可以借助单元刚度矩阵以结点位移来表示。（２）单元刚度矩阵的扩充为了表示（2-1-14）左边的各个列向量，设想将每个单元的自由度扩充到与结构总体自由度相同（本例为６），并在单元刚度矩阵中补充零元素，由（2-1-11）、（2-1-12）、（2-1-13）和（2-1-8）可以用结点位移表示（2-1-14）左边的各列向量。由单元①由单元②由单元③YYXRPRRqpqpqpqpqpqp311)3(3)3(3)3(1)3(1)2(3)2(3)2(2)2(2)1(2)1(2)1(1)1(100000000(2-1-1４)3322111332211)1(2)1(2)1(1)1(1000000000000004242424200424242420042424242004242424200vuvuvukvuvuvuaEAqpqp(2-1-15)3322112332211)2(3)2(3)2(2)2(210100000000010100000000000000000000000vuvuvukvuvuvuaEAqpqp3322113332211)3(3)3(3)3(1)3(10000000100010000000000