3静力学第三章习题答案

C3-1第三章部分习题解答3-10AB,AC和DE三杆连接如图所示。杆DE上有一插销H套在杆AC的导槽内。试求在水平杆DE的一端有一铅垂力F作用时，杆AB所受的力。设DEBCHEDHDBAD,,，杆重不计。解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：0CM02aFBy0ByF取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0HM0aFaFDyFFDy0BM02aFaFDxFFDx2取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0yF0ByDyAyFFFFFAy(与假设方向相反)0AM02aFaFBxDxFFBx(与假设方向相反)0BM02aFaFDxAxFFAx(与假设方向相反)3-12ADACAB,,和BC四杆连接如图所示。在水平杆AB上作用有铅垂向下的力F。接触面和各铰链均为光滑的，杆重不计，试求证不论力F的位置如何，杆AC总是受到大小等于F的压力。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM0xFbFDFbxFDFCxFCyFDFCxFCyFBxFByFDxFDyFHyFBxFByFDyFDxFAxFAyC3-2取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0AM0xFbFBFbxFB杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0EM02)2(2)(bFxbFbFFACDB解得FFAC，命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体。3-14两块相同的长方板由铰链C彼此相连接，且由铰链A及B固定，如图所示，在每一平板内都作用一力偶矩为M的力偶。如ba，忽略板重，试求铰链支座A及B的约束力。解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：0AM0)(MMFMBA即BF必过A点，同理可得AF必过B点。也就是AF和BF是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM045cos45sin00MbFaFAA解得：baMFA2(方向如图所示)3-20如图所示结构由横梁BCAB,和三根支承杆组成，载荷及尺寸如图所示。试求A处的约束力及杆1，2，3所受的力。解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：FABxFAByFBFExFEyFACFBFAFBFCxFCyFBxFByF3C3-30BM0245sin03MaqaaF)2(23qaaMF(受压)选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0xF045cos031FFqaaMF21(受压)0yF045sin032FF)2(2qaaMF(受拉)选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF045cos03FFAx)2(qaaMFAx(与假设方向相反)0yF0445sin032qaPFFFAyqaPFAy40AM0345sin242032MaFaqaaPaFMAMPaqaMA242(逆时针)3-21二层三铰拱由DGBCAB,,和EG四部分组成，彼此间用铰链连接，所受载荷如图所示。试求支座BA,的约束力。解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0AM022aFaFByFFBy0BM022aFaFAyFFAy0xF0FFFBxAx(1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的FAxFAyFBxFByDF3F2F1xyFAxFAyF3F2MAC3-4三角形，由几何关系可得：FFE22。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0CM045sin0aFaFaFEByBx2FFBx代入公式(1)可得：2FFAx3-24均质杆AB可绕水平轴A转动，并搁在半径为r的光滑圆柱上，圆柱放在光滑的水平面上，用不可伸长的绳子AC拉在销钉A上，杆重16N，rACrAB2,3。试求绳的拉力和杆AB对销钉A的作用力。解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM060cos23301rPrN)(93.61NN0xF060sin01NFAx)(6NFAx0yF060cos01PNFAy)(5.12NFAy取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF030cos30cos001TN)(93.6NT注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27均质杆AB和BC完全相同，A和B为铰链连接，C端靠在粗糙的墙上，如图所示。设静摩擦因数353.0sf。试求平衡时角的范围。FEFGFEFGFFEFBxFByFCxFCyPFAxFAyN1N2N1TC3-5解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM0cos22sin2LPLFNtan2PFN(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0BM0coscos2sinLFLPLFsNPFS(2)补充方程：NssFfF，将(1)式和(2)式代入有：2tansf，即010。3-29不计重量的杆AB搁在一圆柱上，一端A用铰链固定，一端B作用一与杆相垂直的力F，如图所示。试：（1）不计圆柱重量，求证各接触面的摩擦角大于2时，不论F多大，圆柱不会被挤出，而处于自锁状态。（2）设圆柱重为P，则圆柱自锁条件为：cos1sinSCf)cos1)((sinPaFlFlfSD证明：（1）不计圆柱重量法1：取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力2FRDFRC2FNDFSDoFAxFAyFAxFAyFNFsPPFBxFByFNFsPC3-6RDRCFF,来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则RDRCFF,等值，反向，共线。由几何关系可知，RDRCFF,与接触点C，D处法线方向的夹角都是2，因此只要接触面的摩擦角大于2，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0AM0lFaFNDFalFND再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0AM0lFaFNCNDNCFFalF取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：0OM0RFRFSDSCSDSCFF0xF0cossinSDSCNCFFFNDNCSDSCFFFFcos1sincos1sin由补充方程：NDSDSDNCSCSCFfFFfF,，可得如果：2tan,2tancos1sinSDSCffFNCFSCFNCFSCFNDFSDoC3-7则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。证明：（2）圆柱重量P时取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力RDRCFF,。如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。全约束力RCF与C点处法线方向的夹角仍为2，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：2tancos1sinSCf(1)该结果与不计圆柱重量时相同。只满足(1)式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动(圆柱作纯滚动)。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得FalFNC，由几何关系可得：FalFSC2tan2cosaFlFRC(2)法1（几何法）：圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。由几何关系可知：sin)]2180(180sin[00RCFP将(2)式代入可得：)cos1)((sintanFlPaFl因此如果圆柱自锁在D点必须满足：)cos1)((sintanFlPaFlfSD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。法2（解析法）：取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：Pφ2FRDFRCPφFRDFRC2FNCFSCFNDFSDPC3-80xF0cossinSDSCNCFFF0yF0cossinNCSCNDFFPF解得：FalFFSDSC2tan，)2tansin(cosaFlPFND代入补充方程：NDSDSDFfF，可得如果圆柱自锁在D点必须满足：)cos1)((sintanFlPaFlfSD(3)即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。3-30如图所示机构中，已知两轮半径量cmR10，各重NP9，杆AC和BC重量不计。轮与地面间的静摩擦因数2.0sf，滚动摩擦系数cm1.0。今在BC杆中点加一垂直力F。试求：（1）平衡时F的最大值maxF；当maxFF时，两轮在D和E点所受到的滑动摩擦力和滚动摩擦力偶矩。解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：00yxFF020PFFFFFNENDSESD由题可知，杆AC为二力杆。作用在杆BC上的力有主动力F，以及B和C处的约束力BF和ACF，由三力平衡汇交，可确定约束力BF和ACF的方向如图所示，其中：31tan，杆AC受压。FNDFNEFSDFSEMEMDFBFACθC3-9取轮A为研究对象，受力如图所示，设ACF的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：0AM0DSDMRF0FM0)(DNDMRPF取轮B为研究对象，受力如图所示，设BF的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：0BM0RFMSEE0GM0tan)(RFPMNEE解以上六个方程，可得：FPFND41，FPFNE43，FFFSESD41，FRMMED41若结构保持平衡，则必须同时满足：NDDFM，NEEFM，NDsSDFfF，NEsSEFfF即：PRfPffPfPRPRFssss4}314,14,34,4min{，因此平衡时F的最大值36.0maxF，此时：)(091.0NFFSESD，)(91.0cmNMMED3-35试用简捷的方法计算图中所示桁架1，2，3杆的内力。解：由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FACFNDFSDMDFFNEFSEMEFBGF2F3F1SFGFHθSC3-100CM0346cos1GHFFF)(58.141kNF(受拉)0xF0sin31HFFF3.313F(受拉)0yF0cos12GFFF67.412F(受压)3-38如图所示桁架中，ABCDEG为正八角形的一半，GBGCAEAD,,,各杆相交但不连接。试求杆BC的内力。解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF0CDFFFFCD(受压)取节点C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：00yxFF0sin45sin0cos45cos00CGBCCGCDBCFFFFF其中：2221tan，解以上两个方程可得：FFBC586.0(受压)3-40试求图中所示桁架中杆1和2的内力。解：取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0AM0322