知识讲解-指数与指数幂的运算-基础

指数与指数幂的运算【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质1．整数指数幂的概念),0(1010*Z*naaaaaZnaaaannann个2．运算法则（1）nmnmaaa；（2）mnnmaa；（3）0anmaaanmnm，；（4）mmmbaab.要点二、根式的概念和运算法则1．n次方根的定义：若xn=y(n∈N*，n1，y∈R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为00n；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n.2．两个等式（1）当1n且*nN时，nnaa；（2）)(||)(,为偶数为奇数nanaann要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：1nnaa()mnmmnnaaa-1mnmnaa要点四、有理数指数幂的运算1．有理数指数幂的运算性质Qba,00，，(1);aaa(2)();aa(3)();abab当a0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(.2.指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.求下列各式的值：（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()ab.【答案】-3；10；3；0abba　（ab）　　（a=b）　（ab）【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.（1）55(3)3；（2）24(10)10；（3）44(3)|3|3；（4）2()||0abababba　（ab）　　（a=b）　（ab）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2，但不是42.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.举一反三：【变式1】计算下列各式的值：（1）33(2)；（2）24(9)；（3）66(4)；（4）88(2)a.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4；（4）2(2)2(2)aaaa.例2.计算：（1）526743642；（2）112121.【答案】22;22．【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）526743642=22(3)232(2)+222223(3)-222222(2)=222(32)(23)(22)=|32|+|23|-|22|=32+23-（22）=22（2）112121=2121(21)(21)(21)(21)=2121=22【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，121的分子、分母中同乘以(21).举一反三：【变式1】化简：（1）3434322(12)(12)；（2）222169(||3)xxxxx【答案】（1）21；（2）22(31),4(13).xxx　　　　类型二、指数运算、化简、求值例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中a0）：（1）2aa；（2）332aa；（3）aa；（4）23633yxyxyx．【答案】52a；113a；34a；54y【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．（1）115222222;aaaaaa（2）221133323333aaaaaa；（3）1131322224()()aaaaaa；（4）解法一：从里向外化为分数指数幂23633yxyxyx=123633()yxyxyx=232yxyxyx=1222()yxyx=11222yxyx=54y解法二：从外向里化为分数指数幂．23633yxyxyx=1236233()yxyxyx=112362233[()]yxyxyx=1112363223{[()]}yxyxyx=11123624123yxyxyx=54y【总结升华】此类问题应熟练应用*(0,,,1)mnmnaaamnN且n．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．举一反三：【高清课堂：指数与指数运算369050例1】【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1）52aa；63xxx【答案】（1）1310102a；（2）23x．【变式2】把下列根式化成分数指数幂：（1）682；（2）(0)aaa；（3）332bb；（4）52231()xx．【答案】7122；34a；113b；35x【解析】（1）682=117766322122222；（2）1331322224()aaaaaaa；（3）211332333bbbbb；（4）52231()xx=243325511()xxxx=35913935355111()xxxx．例4.计算下列各式：（1）220.53327492()()(0.008)8925（2）113032138(2)4(2)()()4527【思路点拨】利用指数幂的运算法则即可得出【答案】（1）19；（2）32【解析】（1）原式=22133284910002()()()279825=252253794=912917（2）原式=113()2323123133()4()1()12832222．【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.举一反三：【变式1】计算下列各式：(1)63425.0031)32(28)67()81(；(2)33323323134)21(428aabbababaa.【答案】112；a．【解析】(1)原式=62163141413)31)(1()3()2(2)2(181123222324143；(2)原式313131312313131231312)2(2)()8(abaabbaabaaababaa331331313131)2()()8(.【变式2】计算下列各式：【高清课堂：指数与指数运算369050例3】30312)26()03.1(2323)661()41(【答案】21+1564【解析】原式=16+6+5+26+346=21+1564．例5.（2016湖北期末）计算：（1）210232132(2)(7.8)(3)()483；（2）111222mmmm；（3）1132123321(4)()40.1()abab．【思路点拨】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.【答案】（1）12；（2）1122mm；（3）425【解析】（1）原式21321(2)322333991()1()()13222442；（2）2112211122111122222mmmmmmmmmm；（3）原式333132222()23321(2)2242242102510abab．【总结升华】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力．举一反三：【变式1】计算化简下列式子232(0)aaaa【答案】5656aa或【解析】原式=1252236aa或65a．注意：当n为偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa.【变式2】化简222222223333xyxyxyxy【答案】32xyxy【解析】应注意到223xx与之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，原式22223333333322223333()()()()xyxyxyxy22222222222233333333()()[()()]xxyyxxyy2332()2xyxyxy.【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式3】化简下列式子：(1)33223(2)4226(3)3232x2x1x3x3x1【答案】226；44182；2x(x1)2(x1)【解析】(1)原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)22(33)2(1263)2266(33)(33)(2)222444444(182)(18)2182(2)24418218223226242260∴由平方根的定义得：444226182(3)33233x3x3x1(x1)x12x1(x1)x2x1|x1|x1(x1)32322x(x1)x2x1x3x3x12(x1).【高清课堂：指数与指数运算369050例4】例6．已知32121xx，求23222323xxxx的值．【答案】13【解析】从已知条件中解出x的值，然后代入求值，这种方法是不可