等比数列的性质

等比数列的性质学习目标1.复习等比数列的定义、公比、等比中项等概念，复习等比数列的判定方法.2.类比等差数列的性质猜想并证明等比数列的性质.3.体会类比、分类讨论的数学思想以及归纳、猜想、证明的过程.复习回顾1.等比数列的定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母表示()第2项比同一常数注意：等比数列的任意一项和公比都不能为零！公比qq≠02.{}(1)0,{}(2)=1,{}(3){}(4).nnnnaqqaqaa在等比数列中，对于公比若则为；若则为；若为单调数列，则；所有的奇数项符号；所有的偶数项符号正负相间摆动数列非零的常数列相同相同q0且q≠13.如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成，那么G叫做a与b的.等比数列等比中项注意：1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝，即等比中项有，且互为．2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.ab相同两个相反数4.等比数列的通项公式注意：从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn-1中包含了四个量an、a1、q、n，已知其中的任意个量，可以求得个量．三另一an＝a1·qn-15.等比数列的判定(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法：(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．1nnaa1nnaa211nnnaaa新课讲授(1)在等差数列{an}中若m＋n＝s＋t,则am＋an＝as＋at.(1)在等比数列{an}中若m＋n＝s＋t,则.猜想证明：设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则am＋an＝a1+(m-1)d+a1+(n-1)d＝2a1+(m+n-2)d＝2a1+(s＋t-2)d＝a1+(s-1)d+a1+(t-1)d＝as＋at证明：设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则am·an＝a1·qm-1·a1·qn-1＝a1·a1·qm+n-2＝a1·a1·qs+t-2＝a1·qs-1·a1·qt-1＝as·at1.等比数列的性质思路：先把am、an用基本量表示再求和am·an＝as·at(2)在等差数列{an}中若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak.(2)在等比数列{an}中若m＋n＝2k，则.证明：∵m＋n＝2k＝k＋k∴am＋an＝ak＋ak＝2ak猜想证明：∵m＋n＝2k＝k＋k∴am·an＝ak·ak＝ak2am·an＝ak2等差数列{an}的这两条性质可以概括为：下标之和相等，则通项之和相等.等比数列{an}的这两条性质可以概括为：下标之和相等，则通项之积相等.(3)对等差数列{an}中任意两项am,an，都有an＝am＋(n-m)d.证明：由等差数列{an}的通项公式得an＝a1＋(n-1)d①am＝a1＋(m-1)d②①-②得an-am＝(n-m)d∴an＝am＋(n-m)d猜想证明：由等比数列{an}的通项公式得an＝a1·qn-1①am＝a1·qm-1②①÷②得an÷am＝qn-m∴an＝am·qn-m(3)对等比数列{an}任意两项am,an，都有.an＝am·qn-m性质等差数列等比数列1若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at.若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at.2若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak.若m＋n＝2k，则am·an＝ak2.相同点不同点3{an}中任意两项am,an都有an＝am＋(n-m)d.{an}中任意两am,an，都有an＝am·qn-m等差、等比数列的性质等式左右两边都有两项等式左右两边都是两项的和等式左右两边都是两项的积在等比数列{an}中，判断下列等式是否成立371935858672375(1)(2)(3)(4)aaaaaaaaaaaaaa辨析√××√典型例题24152311{};2.naaaaaa例若等比数列满足，则1212例2已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．___,8,2.48106aaaan则中，在等比数列1910181.5,100,naaaaa在等比数列中，已知则之积为则该数列前七项中，在等比数列,3.24bbn___,8,2.3897aaaan则中，在等比数列___,9,4.5693aaaan则中，在等比数列性质应用2073±4±64性质等差数列等比数列1若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at.若m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at.2若m＋n＝2k，则am＋an＝2ak.若m＋n＝2k，则am·an＝ak2.相同点不同点3{an}中任意两项am，an，都有an＝am＋(n-m)d.{an}中任意两项am，an，都有an＝am·qn-m等差、等比数列{an}通项公式的性质等式左右两边都有两项等式左右两边都是两项的和等式左右两边都是两项的积小结作业:课时跟踪检测(十一)作业